Luyện tập bài toán Giải phương trình bậc hai, bất phương trình bậc hai một ẩn - Toán 10, cơ bản

Câu 1:Giải bất phương trình \( x^2 - 5x + 6 > 0 \).

• A. \( x < 2 \) hoặc \( x > 3 \)
• B. \( x \leq 2 \) hoặc \( x \geq 3 \)
• C. \( x < 1 \) hoặc \( x > 6 \)
• D. \( x > 2 \) hoặc \( x < 3 \)

Đáp án: A

Lời giải: Phương trình tương ứng là \( x^2 - 5x + 6 = 0 \), có nghiệm \( x = 2 \) và \( x = 3 \). Sử dụng bảng xét dấu, ta có: - \( x^2 - 5x + 6 > 0 \) khi \( x < 2 \) hoặc \( x > 3 \)..

Câu 2: Giải bất phương trình \( 2x^2 - 3x - 5 \leq 0 \).

• A. \( -1 \leq x \leq 2 \)
• B. \( -2 \leq x \leq 5 \)
• C. \( x \geq 1 \)
• D. \( x \leq -1 \)

Đáp án: A

Lời giải: Giải phương trình \( 2x^2 - 3x - 5 = 0 \), ta tìm được nghiệm \( x = -1 \) và \( x = 2.5 \). Xét dấu của bất phương trình, ta có nghiệm \( x \in \left[ -1, 2 \right] \).

Câu 3: Giải bất phương trình \( x^2 + 4x - 5 < 0 \).

• A. \( x < -5 \) hoặc \( x > 1 \)
• A. \( x < -5 \) hoặc \( x > 1 \)
• C. \( x \leq -5 \) hoặc \( x \geq 1 \)
• D. \( x > -5 \) hoặc \( x < 1 \)

Đáp án: B

Lời giải: Phương trình tương ứng là \( x^2 + 4x - 5 = 0 \), có nghiệm \( x = -5 \) và \( x = 1 \). Bất phương trình có nghiệm trong khoảng \( -5 < x < 1 \).

Câu 4:Giải bất phương trình \( x^2 - 2x - 3 \geq 0 \).

• A. \( x \geq 3 \) hoặc \( x \leq -1 \)
• B. \( x \leq 3 \) hoặc \( x \geq -1 \)
• C. \( x \leq 1 \) hoặc \( x \geq 3 \)
• D. \( x \geq -3 \) hoặc \( x \leq 1 \)

Đáp án: A

Lời giải: Phương trình tương ứng là \( x^2 - 2x - 3 = 0 \), có nghiệm \( x = -1 \) và \( x = 3 \). Sử dụng bảng xét dấu, ta có bất phương trình có nghiệm khi \( x \leq -1 \) hoặc \( x \geq 3 \). .

Câu 5:Giải bất phương trình \( 3x^2 + 4x - 5 = 0 \).

• A. \( x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 3 \times (-5)}}{2 \times 3} \)
• B. \( x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 60}}{6} \)
• C. \( x = \frac{-4 \pm \sqrt{76}}{6} \) .
• D. Tất cả đều đúng

Đáp án: D

Lời giải: ông thức nghiệm của phương trình bậc hai là \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). Với \( a = 3, b = 4, c = -5 \), ta có nghiệm là \( x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \times 3 \times (-5)}}{2 \times 3} \). Như vậy, đáp án D là chính xác.

Câu 6:Giải bất phương trình \( x^2 - 6x + 8 > 0 \).

• A. \( x < 2 \) hoặc \( x > 4 \)
• B. \( 2 < x < 4 \)
• C. \( x \leq 2 \) hoặc \( x \geq 4 \)
• D. \( x = 2 \) hoặc \( x = 4 \)

Đáp án: A

Lời giải: Giải phương trình bậc hai \( x^2 - 6x + 8 = 0 \), ta được nghiệm \( x = 2 \) và \( x = 4 \). Sử dụng bảng xét dấu, ta có nghiệm \( x < 2 \) hoặc \( x > 4 \).

Câu 7: Giải bất phương trình \( x^2 + 2x - 3 \leq 0 \).

• A. \( -3 \leq x \leq 1 \)
• B. \( x \leq -3 \) hoặc \( x \geq 1 \)
• C. \( x \geq -3 \) hoặc \( x \leq 1 \) .
• D. \( -1 \leq x \leq 3 \)

Đáp án: A

Lời giải:Giải phương trình \( x^2 + 2x - 3 = 0 \), ta có nghiệm \( x = -3 \) và \( x = 1 \). Sử dụng bảng xét dấu, ta có bất phương trình có nghiệm trong khoảng \( -3 \leq x \leq 1 \).

Câu 8:Giải bất phương trình \( x^2 - 2x - 8 > 0 \).

• A. \( x > 4 \) hoặc \( x < -2 \)
• B. \( x \geq 4 \) hoặc \( x \leq -2 \)
• C. \( x > 2 \) hoặc \( x < -4 \) .
• D. \( x \leq -2 \) hoặc \( x \geq 2 \)

Đáp án:A

Lời giải: Giải phương trình \( x^2 - 2x - 8 = 0 \), ta tìm được nghiệm \( x = -2 \) và \( x = 4 \). Sử dụng bảng xét dấu, ta có nghiệm \( x < -2 \) hoặc \( x > 4 \).

Câu 9: Giải bất phương trình \( x^2 + 6x + 5 \leq 0 \).

• A. \( x = -1 \) hoặc \( x = -5 \)
• B. \( -5 \leq x \leq -1 \)
• C. \( x = -5 \) hoặc \( x = 1 \) .
• D. \( x \leq 5 \) hoặc \( x \geq 1 \)

Đáp án: B

Lời giải: Giải phương trình \( x^2 + 6x + 5 = 0 \), ta được nghiệm \( x = -5 \) và \( x = -1 \). Sử dụng bảng xét dấu, ta có nghiệm trong khoảng \( -5 \leq x \leq -1 \).

Câu 10: Giải bất phương trình \( x^2 + 3x - 10 \geq 0 \).

• A. \( x \leq -5 \) hoặc \( x \geq 2 \)
• B. \( -2 \leq x \leq 5 \)
• C. \( x \leq 2 \) hoặc \( x \geq 5 \) .
• D. \( x \leq -5 \) hoặc \( x \geq 2 \)

Đáp án: A

Lời giải: Giải phương trình \( x^2 + 3x - 10 = 0 \), ta có nghiệm \( x = -5 \) và \( x = 2 \). Sử dụng bảng xét dấu, ta có bất phương trình có nghiệm khi \( x \leq -5 \) hoặc \( x \geq 2 \).

Thực tế về bài toán miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 1:Một cửa hàng bán hai loại sản phẩm A và B. Mỗi sản phẩm A cần 2 giờ để chế biến, mỗi sản phẩm B cần 3 giờ chế biến. Cửa hàng có tối đa 30 giờ chế biến mỗi ngày. Biết rằng số lượng sản phẩm A bán được phải lớn hơn số lượng sản phẩm B bán được. Số sản phẩm A và B mà cửa hàng có thể chế biến thỏa mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 2x + 3y \leq 30 \\ x > y \end{cases} \] Trong đó, \( x \) là số sản phẩm A và \( y \) là số sản phẩm B. Số lượng sản phẩm A và B mà cửa hàng có thể chế biến là gì?

• A. \( x \leq 10, y \leq 8 \)
• B. \( x \leq 15, y \leq 5 \)
• C. \( x \leq 10, y \leq 5 \)
• D. \( x \leq 8, y \leq 10 \)

Đáp án: A

Lời giải: Hệ bất phương trình là:
\[ \begin{cases} 2x + 3y \leq 30 \\ x > y \end{cases} \]
Giải bất phương trình đầu tiên: \( 2x + 3y \leq 30 \), ta có thể vẽ đồ thị của phương trình \( 2x + 3y = 30 \) và tìm miền nghiệm.
Để tìm các giá trị hợp lệ của \( x \) và \( y \), ta thử một số giá trị nhỏ:
- Khi \( x = 10 \), thay vào \( 2x + 3y \leq 30 \), ta có \( 20 + 3y \leq 30 \), hay \( 3y \leq 10 \), suy ra \( y \leq 3 \), không hợp lý.
- Khi \( x = 8 \), thay vào \( 2x + 3y \leq 30 \), ta có \( 16 + 3y \leq 30 \), hay \( 3y \leq 14 \), suy ra \( y \leq 4 \).
Vậy số lượng sản phẩm A và B mà cửa hàng có thể chế biến là \( x \leq 10, y \leq 8 \). Đáp án đúng là A.

Câu 2:Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm X và Y. Mỗi sản phẩm X cần 3 giờ lao động, mỗi sản phẩm Y cần 2 giờ lao động. Công ty có tối đa 20 giờ lao động mỗi ngày. Số sản phẩm X và Y phải thoả mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 3x + 2y \leq 20 \\ x \geq 2 \end{cases} \]
Trong đó, \( x \) là số sản phẩm X và \( y \) là số sản phẩm Y. Số sản phẩm X và Y tối đa mà công ty có thể sản xuất là gì?

• A. \( x \leq 6, y \leq 4 \)
• B. \( x \leq 5, y \leq 5 \)
• C. \( x \leq 6, y \leq 5 \)
• D. \( x \leq 4, y \leq 6 \)

Đáp án: A

Lời giải: Hệ bất phương trình là:
\[ \begin{cases} 3x + 2y \leq 20 \\ x \geq 2 \end{cases} \]
Giải bất phương trình đầu tiên: \( 3x + 2y \leq 20 \). Để tìm miền nghiệm, thử với các giá trị của \( x \):
- Khi \( x = 6 \), ta có \( 3 \times 6 + 2y \leq 20 \), suy ra \( 18 + 2y \leq 20 \), hay \( 2y \leq 2 \), \( y \leq 1 \).
- Khi \( x = 5 \), ta có \( 3 \times 5 + 2y \leq 20 \), suy ra \( 15 + 2y \leq 20 \), hay \( 2y \leq 5 \), \( y \leq 2 \).
- Khi \( x = 4 \), ta có \( 3 \times 4 + 2y \leq 20 \), suy ra \( 12 + 2y \leq 20 \), hay \( 2y \leq 8 \), \( y \leq 4 \).
Vậy số sản phẩm tối đa là \( x \leq 6 \) và \( y \leq 4 \)

Câu 3: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Mỗi sản phẩm A yêu cầu 4 đơn vị nguyên liệu, mỗi sản phẩm B yêu cầu 3 đơn vị nguyên liệu. Nhà máy có tối đa 36 đơn vị nguyên liệu để sử dụng. Biết rằng số lượng sản phẩm A sản xuất được phải gấp đôi số lượng sản phẩm B. Số lượng sản phẩm A và B mà nhà máy có thể sản xuất thỏa mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 4x + 3y \leq 36 \\ x = 2y \end{cases} \] Trong đó, \( x \) là số sản phẩm A và \( y \) là số sản phẩm B. Số sản phẩm A và B mà nhà máy có thể sản xuất là bao nhiêu?

• A. \( x = 12, y = 6 \)
• B. \( x = 10, y = 5 \)
• C. \( x = 8, y = 4 \)
• D. \( x = 6, y = 3 \)

Đáp án: A

Lời giải: Hệ bất phương trình là:
\[ \begin{cases} 4x + 3y \leq 36 \\ x = 2y \end{cases} \]
Thay \( x = 2y \) vào bất phương trình đầu tiên:
\[ 4(2y) + 3y \leq 36 \implies 8y + 3y \leq 36 \implies 11y \leq 36 \implies y \leq \frac{36}{11} \approx 3.27.
\] Vậy số lượng \( y \) tối đa là 3, và từ đó \( x = 2y = 6 \). Do đó, số sản phẩm A và B là \( x = 12, y = 6 \).

Câu 4:

• .

Đáp án: .........

Lời giải: ...........

Câu 5:Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm X và Y. Mỗi sản phẩm X cần 5 giờ làm việc, mỗi sản phẩm Y cần 4 giờ làm việc. Nhà máy có tối đa 40 giờ làm việc mỗi ngày. Biết rằng số sản phẩm X sản xuất phải ít hơn 4 lần số sản phẩm Y sản xuất. Số sản phẩm X và Y mà nhà máy có thể sản xuất thỏa mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 5x + 4y \leq 40 \\ x < 4y \end{cases} \] Trong đó, \( x \) là số sản phẩm X và \( y \) là số sản phẩm Y. Số sản phẩm X và Y tối đa mà nhà máy có thể sản xuất là gì?

• A. \( x \leq 5, y \leq 5 \)
• B. \( x \leq 4, y \leq 6 \)
• C. \( x \leq 6, y \leq 6 \)
• D. \( x \leq 8, y \leq 7 \)

Đáp án: B

Lời giải: Hệ bất phương trình là: \[ \begin{cases} 5x + 4y \leq 40 \\ x < 4y \end{cases} \] Giải bất phương trình đầu tiên: \( 5x + 4y \leq 40 \). Thử với các giá trị của \( x \): - Khi \( x = 4 \), ta có \( 5 \times 4 + 4y \leq 40 \), suy ra \( 20 + 4y \leq 40 \), \( 4y \leq 20 \), \( y \leq 5 \). - Khi \( x = 3 \), ta có \( 5 \times 3 + 4y \leq 40 \), suy ra \( 15 + 4y \leq 40 \), \( 4y \leq 25 \), \( y \leq 6 \). Vậy số sản phẩm X và Y tối đa mà nhà máy có thể sản xuất là \( x \leq 4, y \leq 6 \).

Câu 6: Một công ty sản xuất hai loại hàng hóa A và B. Mỗi sản phẩm A cần 3 đơn vị nguyên liệu và 2 giờ lao động. Mỗi sản phẩm B cần 4 đơn vị nguyên liệu và 3 giờ lao động. Công ty có tối đa 24 đơn vị nguyên liệu và 18 giờ lao động mỗi ngày. Số lượng sản phẩm A và B thỏa mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 3x + 4y \leq 24 \\ 2x + 3y \leq 18 \end{cases} \] Trong đó, \( x \) là số sản phẩm A và \( y \) là số sản phẩm B. Số sản phẩm A và B mà công ty có thể sản xuất là bao nhiêu?

• A. \( x \leq 4, y \leq 3 \)
• B. \( x \leq 3, y \leq 4 \)
• C. \( x \leq 2, y \leq 3 \)
• D. \( x \leq 5, y \leq 4 \)

Đáp án:A

Lời giải:Hệ bất phương trình là: \[ \begin{cases} 3x + 4y \leq 24 \\ 2x + 3y \leq 18 \end{cases} \]
Giải bất phương trình thứ nhất: \( 3x + 4y \leq 24 \), ta thử với các giá trị của \( x \):
- Khi \( x = 4 \), ta có \( 3 \times 4 + 4y \leq 24 \), suy ra \( 12 + 4y \leq 24 \), \( 4y \leq 12 \), \( y \leq 3 \).
- Khi \( x = 3 \), ta có \( 3 \times 3 + 4y \leq 24 \), suy ra \( 9 + 4y \leq 24 \), \( 4y \leq 15 \), \( y \leq 3.75 \).
Vậy số sản phẩm A và B mà công ty có thể sản xuất là \( x \leq 4, y \leq 3 \). Đáp án là A.

Câu 7: (Lĩnh vực Dân số) Dân số của một thành phố trong năm thứ \( t \) (t tính từ năm 0) được mô tả bởi bất phương trình bậc hai: \[ P(t) = t^2 - 8t + 15 \geq 0 \] Hỏi trong khoảng thời gian nào dân số của thành phố này luôn dương?

• A. Từ năm thứ 1 đến năm thứ 5
• B. Từ năm thứ 0 đến năm thứ 8
• C. Từ năm thứ 0 đến năm thứ 7
• D. Từ năm thứ 2 đến năm thứ 6

Đáp án: C

Lời giải:Lời giải: Giải bất phương trình \( t^2 - 8t + 15 \geq 0 \), ta có phương trình bậc hai \( t^2 - 8t + 15 = 0 \). Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(15)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] Vậy nghiệm là \( t = 3 \) và \( t = 5 \). Bất phương trình có nghiệm \( t \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty) \). Do đó, dân số dương trong khoảng từ năm thứ 0 đến năm thứ 7.

Câu 8:(Lĩnh vực Tin học) Một thuật toán trong tin học có thời gian thực thi được mô tả bởi bất phương trình bậc hai sau: \[ T(x) = -x^2 + 6x + 5 \leq 0 \] Hỏi thuật toán này sẽ thực thi trong khoảng thời gian nào để đảm bảo không quá tải bộ nhớ?

• A. Từ giờ thứ 0 đến giờ thứ 6
• B. Từ giờ thứ 1 đến giờ thứ 5
• C. Từ giờ thứ 2 đến giờ thứ 4
• D. Từ giờ thứ 0 đến giờ thứ 5

Đáp án: B

Lời giải:Giải bất phương trình \( -x^2 + 6x + 5 \leq 0 \), ta có phương trình bậc hai \( -x^2 + 6x + 5 = 0 \). Giải phương trình này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-1)(5)}}{2(-1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 20}}{-2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{-2} \] Nghiệm của phương trình là \( x \approx 0.47 \) và \( x \approx 5.53 \). Do đó, thuật toán thực thi trong khoảng thời gian từ giờ thứ 1 đến giờ thứ 5.

Câu 9:

• .

Đáp án: .........

Lời giải: ...........

Câu 10:

• .

Đáp án: .........

Lời giải: ...........

Luyện tập 4 - Nhận biết nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 1:Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn nào dưới đây là đúng?

• A. \( \begin{cases} x + y > 2 \\ x - y^2 \leq 1 \end{cases} \)
• B. \( \begin{cases} 2x - y \geq 3 \\ x + y < 5 \end{cases} \)
• C. \( \begin{cases} x^2 + y \leq 4 \\ 3x - y > 0 \end{cases} \)
• D. \( \begin{cases} x + y > 1 \\ 3x + 2y = 6 \end{cases} \)

Đáp án: B

Lời giải:
- Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng mỗi bất phương trình là bậc nhất hai ẩn.
- Phân tích các phương án:
- A: Sai vì \( x - y^2 \leq 1 \) không là bậc nhất.
- B: Đúng vì cả \( 2x - y \geq 3 \) và \( x + y < 5 \) đều là bậc nhất hai ẩn.
- C: Sai vì \( x^2 + y \leq 4 \) không là bậc nhất.
- D: Sai vì \( 3x + 2y = 6 \) không phải bất phương trình.

Câu 2:Điểm nào dưới đây là nghiệm của hệ bất phương trình \( \begin{cases} x + y \leq 5 \\ x - y > 1 \end{cases} \)?

• A. \( (3, 2) \)
• B. \( (1, 1) \)
• C. \( (2, -1) \)
• D. \( (4, 1) \)

Đáp án:A

Lời giải:
- Kiểm tra từng điểm với từng bất phương trình:
- \( (3, 2): x + y = 3 + 2 = 5 \leq 5 \), \( x - y = 3 - 2 = 1 > 1 \), đúng.
- \( (1, 1): x + y = 1 + 1 = 2 \leq 5 \), \( x - y = 1 - 1 = 0 \not> 1 \), sai.
- \( (2, -1): x + y = 2 - 1 = 1 \leq 5 \), \( x - y = 2 - (-1) = 3 > 1 \), đúng nhưng không nằm trong yêu cầu.
- \( (4, 1): x + y = 4 + 1 = 5 \leq 5 \), \( x - y = 4 - 1 = 3 > 1 \), đúng nhưng không tối ưu.

Câu 3:Miền nghiệm của hệ bất phương trình \( \begin{cases} x + 2y > 6 \\ x - y \leq 2 \end{cases} \) nằm ở:

• A. Phía trên đường \( x + 2y = 6 \) và bên dưới đường \( x - y = 2 \).
• B. Phía trên đường \( x + 2y = 6 \) và bên trên đường \( x - y = 2 \).
• C. Phía dưới đường \( x + 2y = 6 \) và bên dưới đường \( x - y = 2 \).
• D. Phía dưới đường \( x + 2y = 6 \) và bên trên đường \( x - y = 2 \).

Đáp án: A

Lời giải:
- Bất phương trình \( x + 2y > 6 \): Miền nghiệm nằm phía trên đường thẳng \( x + 2y = 6 \).
- Bất phương trình \( x - y \leq 2 \): Miền nghiệm nằm phía dưới đường thẳng \( x - y = 2 \).
- Miền nghiệm chung là giao của hai miền trên.

Câu 4:Điểm \( (2, 2) \) có phải là nghiệm của hệ \( \begin{cases} x + y \geq 3 \\ 2x - y \leq 4 \end{cases} \) không?

• A. Có
• B. Không
• C. Chỉ thỏa mãn một bất phương trình .
• D. Không thuộc miền nghiệm của cả hai bất phương trình

Đáp án: A

Lời giải:
- Kiểm tra từng bất phương trình:
- \( x + y = 2 + 2 = 4 \geq 3 \), đúng.
- \( 2x - y = 2(2) - 2 = 4 - 2 = 2 \leq 4 \), đúng.
- Vậy \( (2, 2) \) là nghiệm của hệ.

Câu 5:Hệ bất phương trình \( \begin{cases} x + y < 5 \\ x - y \geq 2 \end{cases} \) có đường biên là:

• A. \( x + y = 5 \) và \( x - y = 2 \).
• B. \( x + y > 5 \) và \( x - y < 2 \).
• C. \( x + y = 5 \) và \( x - y = -2 \). .
• D. \( x + y = -5 \) và \( x - y = 2 \).

Đáp án: A

Lời giải:
- Các đường biên của miền nghiệm là đường thẳng liên quan đến các dấu bằng trong bất phương trình.
- Đường biên là \( x + y = 5 \) và \( x - y = 2 \).

Câu 6:Điểm \( (-1, 3) \) có thuộc miền nghiệm của hệ \( \begin{cases} x + y \geq 2 \\ 2x + y \leq 1 \end{cases} \) không?

• A. Thuộc miền nghiệm.
• B. Không thuộc miền nghiệm.
• C. Thuộc miền nghiệm của một bất phương trình. .
• D. Không thỏa mãn cả hai bất phương trình.

Đáp án:B

Lời giải:
- Kiểm tra:
- \( x + y = -1 + 3 = 2 \geq 2 \), đúng.
- \( 2x + y = 2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \leq 1 \), đúng.

Câu 7:Miền nghiệm của hệ \( \begin{cases} x + 2y > 4 \\ x - y < 1 \end{cases} \) nằm ở đâu?

• A. Phía trên đường \( x + 2y = 4 \) và bên dưới đường \( x - y = 1 \).
• B. Phía trên đường \( x + 2y = 4 \) và bên trên đường \( x - y = 1 \).
• C. Phía dưới đường \( x + 2y = 4 \) và bên dưới đường \( x - y = 1 \). .
• D. Phía dưới đường \( x + 2y = 4 \) và bên trên đường \( x - y = 1 \).

Đáp án:A

Lời giải:
- Bất phương trình \( x + 2y > 4 \): Miền nghiệm nằm phía trên đường thẳng \( x + 2y = 4 \).
- Bất phương trình \( x - y < 1 \): Miền nghiệm nằm phía dưới đường thẳng \( x - y = 1 \).
- Miền nghiệm chung là giao của hai miền trên.

Câu 8:Cho hệ \( \begin{cases} x + y > 3 \\ x - 2y \leq -4 \end{cases} \). Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm?

• A. \( (3, 1) \)
• B. \( (2, 2) \)
• C. \( (4, 0) \) .
• D. \( (0, -2) \)

Đáp án: C

Lời giải:
- Kiểm tra từng điểm:
- \( (3, 1): x + y = 3 + 1 = 4 > 3 \), \( x - 2y = 3 - 2(1) = 1 \not\leq -4 \), sai.
- \( (2, 2): x + y = 2 + 2 = 4 > 3 \), \( x - 2y = 2 - 2(2) = -2 \leq -4 \), đúng.
- \( (4, 0): x + y = 4 + 0 = 4 > 3 \), \( x - 2y = 4 - 2(0) = 4 \not\leq -4 \), sai.
- \( (0, -2): x + y = 0 - 2 = -2 > 3 \), \( x - 2y = 0 - 2(-2) = 4 \not\leq -4 \), sai.

Câu 9:Hệ \( \begin{cases} 2x - y \geq 3 \\ x + y < 4 \end{cases} \) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

• A. 2
• B. 3
• C. 4 .
• D. 5

Đáp án: B

Lời giải:
- Biểu diễn bất phương trình trên hệ trục tọa độ.
- Nghiệm nguyên là các điểm trong miền giao thỏa mãn cả hai bất phương trình. Kiểm tra bằng cách liệt kê các điểm trong giao miền nghiệm.

Câu 10:Hệ \( \begin{cases} x + y > 0 \\ x - y <2 \end{cases} \) xác định miền nghiệm nào dưới đây?

• A. Giao của hai miền nửa mặt phẳng trên đường \( x + y = 0 \) và dưới đường \( x - y = 2 \).
• B. Hợp của hai miền nửa mặt phẳng trên đường \( x + y = 0 \) và dưới đường \( x - y = 2 \).
• C. Giao của hai miền nửa mặt phẳng trên đường \( x + y = 0 \) và trên đường \( x - y = 2 \). .
• D. Hợp của hai miền nửa mặt phẳng trên đường \( x + y = 0 \) và trên đường \( x - y = 2 \).

Đáp án: A

Lời giải:
- Biểu diễn bất phương trình \( x + y > 0 \): Miền nghiệm nằm phía trên đường \( x + y = 0 \).
- Biểu diễn bất phương trình \( x - y <2 \): Miền nghiệm nằm phía dưới đường \( x - y = 2 \).
- Miền nghiệm là giao của hai miền trên.

Luyện tập 3 - Nhận biết về bất phương trình bậc nhất hai ẩn, nghiệm của BPT bậc nhất hai ẩn....(mức nhận biết)

Câu 1: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn là bất phương trình nào dưới đây?

• A. \( 3x^2 + 2y^2 - 4xy > 5 \)
• B. \( x + y^3 < 2 \)
• C. \( 2x - 3y + 4 \leq 0 \)
• D. \( x^2 + y \geq 1 \)

Đáp án:C

Lời giải:
- Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có < tổng quát: \( ax + by + c \; \star \; 0 \), trong đó \( a, b, c \) là các hằng số thực, \( \star \) là một trong các dấu \( >, , \geq, \leq \).
- Phân tích các phương án:
- A, B, D đều không đúng dạng tổng quát.
- Chỉ phương án C (\( 2x - 3y + 4 \leq 0 \)) là bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

Câu 2: Cặp số nào dưới đây là nghiệm của bất phương trình \( 2x - y > 1 \)?

• A. \( (1, 0) \)
• B. \( (2, 5) \)
• C. \( (0, 0) \)
• D. \( (-1, -2) \)

Đáp án:A

Lời giải:
- Thay lần lượt từng cặp số vào bất phương trình \( 2x - y > 1 \):
- \( (1, 0): 2(1) - 0 = 2 > 1 \), đúng.
- \( (2, 5): 2(2) - 5 = -1 \not> 1 \), sai.
- \( (0, 0): 2(0) - 0 = 0 \not> 1 \), sai.
- \( (-1, -2): 2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0 \not> 1 \), sai.

Câu 3: Miền nghiệm của bất phương trình \( 3x + 4y \leq 12 \) nằm ở đâu trên mặt phẳng tọa độ?

• A. Phía trên đường thẳng \( 3x + 4y = 12 \).
• B. Phía dưới đường thẳng \( 3x + 4y = 12 \).
• C. Phía bên phải đường thẳng \( 3x + 4y = 12 \).
• D. Phía bên trái đường thẳng \( 3x + 4y = 12 \).

Đáp án: B

Lời giải:
- Bất phương trình \( 3x + 4y \leq 12 \) có đường biên là \( 3x + 4y = 12 \).
- Để xác định miền nghiệm, chọn điểm kiểm tra, thường là gốc tọa độ \( (0, 0) \):
- \( 3(0) + 4(0) = 0 \leq 12 \), gốc tọa độ thuộc miền nghiệm.
- Miền nghiệm nằm phía dưới đường thẳng \( 3x + 4y = 12 \).

Câu 4: Đường thẳng \( x + y = 4 \) chia mặt phẳng tọa độ thành:

• A. Hai miền nghiệm của bất phương trình \( x + y \leq 4 \).
• B. Hai miền nghiệm của bất phương trình \( x + y < 4 \).
• C. Hai nửa mặt phẳng không giao nhau.
• D. Một miền nghiệm và một miền không nghiệm của bất phương trình \( x + y > 4 \).

Đáp án: C

Lời giải:
- Đường thẳng \( x + y = 4 \) chia mặt phẳng thành hai nửa không giao nhau: \( x + y < 4 \) và \( x + y > 4 \).
- Phương án C đúng nhất.

Câu 5:Bất phương trình nào dưới đây có miền nghiệm chứa điểm \( (2, -3) \)?

• A. \( x - y > 5 \)
• B. \( 2x + 3y \leq 1 \)
• C. \( x + y < 1 \)
• D. \( 4x - y \geq 10 \)

Đáp án: B

Lời giải:
- Thay \( (2, -3) \) vào từng bất phương trình:
- \( x - y > 5 \): \( 2 - (-3) = 5 \not> 5 \), sai.
- \( 2x + 3y \leq 1 \): \( 2(2) + 3(-3) = 4 - 9 = -5 \leq 1 \), đúng.
- \( x + y < 1 \): \( 2 + (-3) = -1 < 1 \), đúng nhưng không nằm trong lời yêu cầu.
- \( 4x - y \geq 10 \): \( 4(2) - (-3) = 8 + 3 = 11 \geq 10 \), đúng nhưng không phải đáp án tối ưu.

Câu 6:Xét bất phương trình \( x - 2y > 4 \). Điểm nào dưới đây nằm trong miền nghiệm?

• A. \( (3, -1) \)
• B. \( (2, 1) \)
• C. \( (5, 0) \) .
• D. \( (4, 2) \)

Đáp án: C

Lời giải:
- Thay lần lượt từng điểm vào bất phương trình \( x - 2y > 4 \):
- \( (3, -1): 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5 > 4 \), đúng.
- \( (2, 1): 2 - 2(1) = 2 - 2 = 0 \not> 4 \), sai.
- \( (5, 0): 5 - 2(0) = 5 > 4 \), đúng.
- \( (4, 2): 4 - 2(2) = 4 - 4 = 0 \not> 4 \), sai.
- Cả \( (3, -1) \) và \( (5, 0) \) đều đúng, nhưng phương án chính xác nhất theo yêu cầu là C.

Câu 7: Cho bất phương trình \( y \geq -\frac{2}{3}x + 2 \). Điểm nào dưới đây thuộc đường biên của miền nghiệm?

• A. \( (3, 0) \)
• B. \( (-3, 4) \)
• C. \( (6, 2) \)
• D. \( (0, 2) \)

Đáp án: D

Lời giải:
- Đường biên của miền nghiệm là đường thẳng \( y = -\frac{2}{3}x + 2 \).
- Thay từng điểm vào phương trình đường biên:
- \( (3, 0): y = -\frac{2}{3}(3) + 2 = -2 + 2 = 0 \), thuộc đường biên.
- \( (-3, 4): y = -\frac{2}{3}(-3) + 2 = 2 + 2 = 4 \), thuộc đường biên.
- \( (6, 2): y = -\frac{2}{3}(6) + 2 = -4 + 2 = -2 \not= 2 \), không thuộc đường biên.
- \( (0, 2): y = -\frac{2}{3}(0) + 2 = 2 \), thuộc đường biên.

Câu 8: Miền nghiệm của bất phương trình \( x + y < 1 \) không chứa điểm nào dưới đây?

• A. \( (0, 0) \)
• B. \( (1, -1) \)
• C. \( (2, -2) \) .
• D. \( (-1, 2) \)

Đáp án: D

Lời giải:
- Thay lần lượt các điểm vào bất phương trình \( x + y < 1 \):
- \( (0, 0): 0 + 0 = 0 < 1 \), đúng.
- \( (1, -1): 1 + (-1) = 0 < 1 \), đúng.
- \( (2, -2): 2 + (-2) = 0 < 1 \), đúng.
- \( (-1, 2): -1 + 2 = 1 \not<1 \), sai.

Câu 9:Miền nghiệm của bất phương trình \( y > \frac{1}{2}x - 3 \) là:

• A. Nửa mặt phẳng phía trên đường thẳng \( y = \frac{1}{2}x - 3 \).
• B. Nửa mặt phẳng phía dưới đường thẳng \( y = \frac{1}{2}x - 3 \).
• C. Nửa mặt phẳng bên trái đường thẳng \( y = \frac{1}{2}x - 3 \).
• D. Nửa mặt phẳng bên phải đường thẳng \( y = \frac{1}{2}x - 3 \).

Đáp án: A

Lời giải:
- Bất phương trình \( y > \frac{1}{2}x - 3 \) có đường biên là \( y = \frac{1}{2}x - 3 \).
- Miền nghiệm nằm phía trên đường thẳng, ứng với các giá trị \( y \) lớn hơn giá trị \( y \) trên đường biên.

Câu 10:Cho bất phương trình \( x + 2y \leq 4 \). Điểm nào thuộc miền nghiệm?

• A. \( (0, 2) \)
• B. \( (1, 2) \)
• C. \( (-1, 3) \) .
• D. \( (2, 1) \)

Đáp án: A

Lời giải:
- Thay lần lượt các điểm vào bất phương trình \( x + 2y \leq 4 \):
- \( (0, 2): 0 + 2(2) = 4 \leq 4 \), đúng.
- \( (1, 2): 1 + 2(2) = 5 \not\leq 4 \), sai.
- \( (-1, 3): -1 + 2(3) = 5 \not\leq 4 \), sai.
- \( (2, 1): 2 + 2(1) = 4 \leq 4 \), đúng.

Nhận biết về tam thức bậc hai và một số bài toán cơ bản

I. Khái niệm cơ bản
1. Tam thức bậc hai
Tam thức bậc hai là biểu thức dạng:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \] Trong đó:
- \( a, b, c \) là các hệ số thực.
- \( a \) là hệ số bậc hai, \( b \) là hệ số bậc nhất, và \( c \) là hằng số.
2. Phương trình bậc hai
\[ ax^2 + bx + c = 0 \] Nghiệm của phương trình này có thể được tính bằng công thức:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \] - Nếu \( \Delta > 0 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \( x_1, x_2 \).
- Nếu \( \Delta = 0 \): Phương trình có nghiệm kép \( x_1 = x_2 \).
- Nếu \( \Delta <0 \): Phương trình vô nghiệm.
II. Dấu của tam thức bậc hai
1. Trường hợp \( \Delta > 0 \)
Nghiệm \( x_1 \) và \( x_2 \) (với \( x_1 < x_2 \)).
\[ f(x) > 0 \quad \text{khi} \quad x < x_1 \ \text{hoặc} \ x > x_2 \] \[ f(x) < 0 \quad \text{khi} \quad x_1 < x < x_2 \] 2. Trường hợp \( \Delta = 0 \):
Tam thức bậc hai có nghiệm kép \( x_1 = x_2 \).
\[ f(x) \geq 0 \quad \text{hoặc} \quad f(x) \leq 0 \] tùy theo dấu của \( a \). 3. Trường hợp \( \Delta < 0 \):
Tam thức bậc hai không có nghiệm thực.
\[ f(x) > 0 \quad \text{khi} \quad a > 0 \] \[ f(x) < 0 \quad \text{khi} \quad a <0 \]

Bài toán ứng dụng hàm số và đồ thị hàm số hàm bậc hai

1. Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Đề bài:
Cho hàm số \( y = -2x^2 + 4x + 1 \). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \( [0, 2] \).
Lời giải:
1.Xét hàm số:
Hàm số có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = -2, b = 4, c = 1 \). Vì \( a < 0 \), đồ thị hàm số là một parabol úp.
2. Tìm đỉnh của parabol:
Tọa độ đỉnh: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1, \quad y_0 = f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3. \] 3. Xét giá trị tại các đầu mút và đỉnh:
- \( f(0) = -2(0)^2 + 4(0) + 1 = 1 \),
- \( f(2) = -2(2)^2 + 4(2) + 1 = -3 \),
- \( f(1) = 3 \) (đỉnh nằm trong đoạn \( [0, 2] \)).
4. Kết luận:
- Giá trị lớn nhất: \( \max f(x) = 3 \) tại \( x = 1 \).
- Giá trị nhỏ nhất: \( \min f(x) = -3 \) tại \( x = 2 \).
* Phân tích bài toán: Bài toán yêu cầu phân tích hàm số trên một đoạn cụ thể. Việc tìm đỉnh và so sánh giá trị tại các điểm quan trọng là chìa khóa để giải bài.

---

2. Bài toán 2: Ứng dụng trong chuyển động vật lý
Đề bài
Một quả bóng được ném lên với phương trình chuyển động \( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \) (đơn vị: mét, giây).
a) Xác định thời điểm quả bóng đạt độ cao lớn nhất.
b) Tính độ cao lớn nhất của quả bóng.
Lời giải:
1. Xét hàm số:
Hàm số \( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \) là một hàm bậc hai với \( a = -5 \). Vì \( a < 0 \), đồ thị có đỉnh là điểm cao nhất.
2. Tìm thời điểm đạt độ cao lớn nhất:
Tọa độ đỉnh:
\[ t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = 2 \, \text{(giây)}. \] 3. Tính độ cao lớn nhất:
\[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1 = 21 \, \text{(mét)}. \] * Kết luận:
- Thời điểm quả bóng đạt độ cao lớn nhất là \( t = 2 \) giây.
- Độ cao lớn nhất là \( 21 \) mét.
* Phân tích bài toán:Bài toán ứng dụng lý thuyết hàm bậc hai vào thực tế chuyển động ném lên. Đỉnh của parabol tương ứng với độ cao lớn nhất.

---

Bài toán 3: Tính diện tích vùng đóng kín (dành cho lớp 12)
Đề bài:
Cho đồ thị hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \). Xác định diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Lời giải:
1. Xác định giao điểm với trục hoành:
Giải phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0 \):
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1, x = 3. \] 2. Diện tích hình phẳng:
Diện tích giữa đồ thị và trục hoành:
\[ S = \int_{1}^{3} |x^2 - 4x + 3| dx = \int_{1}^{3} (4x - x^2 - 3) dx. \] Tính tích phân: \[ S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 3x \right]_1^3 = \left( 2(3)^2 - \frac{(3)^3}{3} - 3(3) \right) - \left( 2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - 3(1) \right) = 4. \] * Kết luận:
Diện tích hình phẳng là \( 4 \) đơn vị diện tích.
* Phân tích bài toán:Bài toán kết hợp kiến thức hàm số và tích phân, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa hình học của đồ thị hàm số.

---

Bài toán 4: Ứng dụng trong bài toán chi phí
Đề bài:
Một công ty sản xuất có hàm chi phí \( C(x) = 5x^2 - 50x + 300 \), với \( x \) là số sản phẩm sản xuất (nghìn sản phẩm). Tìm số sản phẩm để chi phí thấp nhất.
Lời giải:
1. Xét hàm số:
Hàm chi phí \( C(x) = 5x^2 - 50x + 300 \), với \( a > 0 \) nên đồ thị là một parabol hướng lên.
2. Tìm số sản phẩm tối ưu:
Tọa độ đỉnh:
\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-50}{2(5)} = 5. \] * Kết luận:
Chi phí thấp nhất đạt được khi sản xuất \( 5 \) nghìn sản phẩm.
* Phân tích bài toán: Bài toán cho thấy ứng dụng của hàm bậc hai trong tối ưu hóa chi phí, rất thực tế với các bài toán kinh tế.

---

Bài toán 5: Bài toán hình học
Đề bài:
Cho tam giác có một cạnh là \( x \), chiều cao tương ứng là \( y = -x^2 + 6x - 5 \). Tìm giá trị của \( x \) để diện tích tam giác lớn nhất.
Lời giải:
1. ét diện tích tam giác:
Diện tích tam giác:
\[ S = \frac{1}{2}x(-x^2 + 6x - 5). \] 2. Đặt hàm số:
\( S(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 3x^2 - \frac{5}{2}x \).
3. Xác định giá trị tối ưu:
Tìm đạo hàm \( S'(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x - \frac{5}{2} \), giải \( S'(x) = 0 \) để tìm \( x \).
Từ đó tính \( S(x) \) để tìm giá trị lớn nhất.
*Phân tích bài toán: Bài toán kết hợp giữa hình học và tối ưu hóa hàm số. Cần hiểu rõ cách phân tích giá trị cực đại.

Test 10.3.2 - Nhận biết về hàm số và đồ thị hàm số bậc hai

Trí nhớ và tư duy suy luận của tôi

---

Câu 1:Hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có đồ thị là:

Đường thẳng. Parabol. Đường tròn. Đường elip.

Câu 2: Đồ thị của hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có hình dạng

Một parabol có hai nhánh đối xứng qua một đường thẳng. Một parabol có bốn nhánh. Một parabol có hai nhánh đối xứng qua trục \( y \). Một parabol có một nhánh.

Câu 3: Trục đối xứng của đồ thị hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) là:

\( x = \frac{b}{2a} \). \( x = -\frac{b}{2a} \). \( x = -\frac{c}{2a} \). \( x = \frac{c}{2a} \).

Câu 4: Đỉnh của đồ thị hàm số \( y = 2x^2 - 4x + 1 \) là:

Góc phần tư thứ hai Góc phần tư thứ nhất Góc vuông Không thuộc phần tư nào

Câu 5: Hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có đồ thị là Parabol có bề lõm hướng lên trên khi:

\( a <0 \). \( (1, 1) \). \( a >0 \). \( b > 0 \).

Câu 6:Hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có đồ thị là Parabol có bề lõm hướng xuóng dưới khi:

\( a > 0 \). \( b < 0 \). \( a <0 \). \( c < 0 \).

Câu 7: Phương trình nào sau đây là một hàm số bậc hai?

\( y = 3x + 2 \). \( y = \frac{1}{x^2} + 2x + 3 \). \( y = 2x^2 + 3x + 1 \). \( y = x^3 + 2x^2 + 1 \).

Câu 8: Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3x^2 + 6x + 7 \) là:

\( y = 7 \). \( y = 3 \). \( y = 4 \). \( y = 4 \frac{1}{3} \).

Câu 9: Tọa độ điểm cắt trục tung của đồ thị hàm số \( y = 2x^2 - 3x + 4 \) là:

\( (0, 2) \). \( (0, -3) \). \( (0, 4) \). \( (0, 0) \).

Câu 10: Đồ thị của hàm số \( y = -x^2 + 4x - 3 \) có đỉnh nằm tại:

\( (2, -1) \). \( (1, 3) \). \( (2, 1) \). \( (4, -3) \).

Xem lời giải chi tiết Đăng ký lớp học miễn phí Danh sách bài Test

Đỉnh, trục đối xứng của parabol và Parabol giao nhau với các trục

1. Định nghĩa Parabol - Parabol là đồ thị của hàm số bậc hai có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \] - Parabol có hình dạng đối xứng qua một đường thẳng gọi là trục đối xứng
2. Các yếu tố đặc trưng của Parabol a) Đỉnh của Parabol - Đỉnh của Parabol là điểm thấp nhất (nếu \(a > 0\)) hoặc cao nhất (nếu \(a < 0\)).
- Tọa độ đỉnh được xác định bằng công thức:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a}, \quad y_{\text{đỉnh}} = f(x_{\text{đỉnh}}) \] Hay viết gọn:
\[ \text{Đỉnh } (x_{\text{đỉnh}}, y_{\text{đỉnh}}) = \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right) \] Trong đó, \(\Delta = b^2 - 4ac\) là biệt thức (discriminant)
b) Trục đối xứng
- Trục đối xứng của Parabol là đường thẳng song song với trục tung, đi qua đỉnh:
\[ x = -\frac{b}{2a} \] c) Giao điểm với các trục tọa độ
1. Giao điểm với trục hoành (\(y = 0\))
- Xác định bằng cách giải phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\).
- Phương trình này có:.
- Hai nghiệm phân biệt (\(\Delta > 0\)): Parabol cắt trục hoành tại hai điểm
- Nghiệm kép (\(\Delta = 0\)): Parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm.
- Không có nghiệm thực (\(\Delta <0\)): Parabol không cắt trục hoành.
2. Giao điểm với trục tung (\(x = 0\))
- Khi \(x = 0\), \(y = c\).
- Giao điểm là \((0, c)\).
3. Dấu hiệu nhận biết
Hướng của Parabol
- Nếu \(a > 0\): Parabol mở lên.
- Nếu \(a <0\): Parabol mở xuống.
- Đỉnh Parabol**: Dựa vào công thức tọa độ \((-b/2a, f(-b/2a))\).
- Sự đối xứng
- Các điểm đối xứng qua trục đối xứng có cùng hoành độ nhưng giá trị \(y\) bằng nhau
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xác định đỉnh, trục đối xứng và giao điểm với các trục
Cho hàm số: \(y = 2x^2 - 4x + 1\)
Giải
- Tọa độ đỉnh:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1, \quad y_{\text{đỉnh}} = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1. \] Đỉnh: \((1, -1)\). - Trục đối xứng:
\[ x = 1 \] - Giao điểm với trục tung:
\[ x = 0 \implies y = 1 \quad \text{(Giao điểm: \((0, 1)\))}. \] - Giao điểm với trục hoành:
\[ 2x^2 - 4x + 1 = 0 \implies \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8. \] Phương trình có hai nghiệm:
\[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}. \] Giao điểm: \(\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}, 0\right)\) và \(\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}, 0\right)\).
Ví dụ 2: Nhận biết Parabol không cắt trục hoành
Xét \(y = x^2 - 2x + 2\):
- Tính \(\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4\).
- Vì \(\Delta < 0\), Parabol không cắt trục hoành.
5. Bài tập củng cố.
1. Xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng của Parabol \(y = -3x^2 + 6x - 1\).
2. Xác định giao điểm với các trục tọa độ của Parabol \(y = x^2 - 5x + 6\).
3. Cho \(y = 4x^2 + 8x + 3\), hãy vẽ Parabol và xác định hướng mở của nó.
5. Tính đồng biến, nghịch biến của Parabol Parabol, là đồ thị của hàm số bậc hai \( y = ax^2 + bx + c \), có một điểm đặc biệt là đỉnh Parabol.
Dựa vào đỉnh và hệ số \( a \), ta xác định được tính đồng biến và nghịch biến trên từng khoảng xác định.
1. Tính chất đồng biến, nghịch biến
- Đồng biến: Hàm số \( y \) tăng khi \( x \) tăng (giá trị \( y \) lớn dần theo \( x \)).
- Nghịch biến**: Hàm số \( y \) giảm khi \( x \) tăng (giá trị \( y \) nhỏ dần theo \( x \)).
Với \( y = ax^2 + bx + c \):
- Đỉnh Parabol có hoành độ:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a}. \] - Tính chất
- Nếu \( x < x_{\text{đỉnh}} \): Hàm số ghịch biến
- Nếu \( x > x_{\text{đỉnh}} \): Hàm số đồng biến.
2. Xác định trên từng khoảng
- Hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có: - Khoảng nghịch biến: \( (-\infty, x_{\text{đỉnh}}) \).
- Khoảng đồng biến: \( (x_{\text{đỉnh}}, +\infty) \).
- Hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có:
- Khoảng nghịch biến: \( (-\infty, x_{\text{đỉnh}}) \).
- **Khoảng đồng biến \( (x_{\text{đỉnh}}, +\infty) \).
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = 2x^2 - 4x + 3 \).
Giải:
- Hoành độ đỉnh I:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1. \] - Với \( a = 2 > 0 \): Parabol có bề lõm lên trên.
- Tính đồng biến, nghịch biến:
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, +\infty) \).
Ví dụ 2: Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = -x^2 + 2x - 1 \).
Giải
- Hoành độ đỉnh I:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1.
\] - Với \( a = -1 < 0 \): Parabol có bề lõm xuống dưới.
- Tính đồng biến, nghịch biến:
- Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1, +\infty) \).
4. Hướng dẫn xác định trên đồ thị
- Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh Parabol.
- Bước 2: Xét hệ số \( a \) để biết Parabol mở lên hay xuống.
- Bước 3: Dựa vào trục đối xứng \( x = x_{\text{đỉnh}} \), chia miền giá trị \( x \) thành hai khoảng.
- Bước 4: Phân tích đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng.
5. Bài tập tự luyện
1. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = x^2 - 6x + 5 \).
2. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = -3x^2 + 12x - 5 \).
3. Tìm giá trị \( a \) để hàm số \( y = ax^2 + 4x + 1 \) đồng biến trên khoảng \( (2, +\infty) \).

Danh mục các bài Test môn Toán lớp 10

Tên bài	Kiến thức	Ghi chú
Test 10.0- Tập hợp, các phép toán trên tập hợp	Smith	50
Test 10.1- Đồ thị và hàm số - phần 1	Jackson	94
Test 10.2- Hàm số, đồ thị hàm bậc nhất, bậc hai	Doe	80
Test 10.3- Đỉnh, trục đối xứng, điểm thuộc Parabol	Doe	80
Test 10.1- Đồ thị và hàm số - phần 1	Doe	80
Test 10.1- Đồ thị và hàm số - phần 1	Doe	80

Bài Test 10.3.2 - Đỉnh, trục đối xứng của Parabol (câu hỏi cơ bản, phần 1)

Trí nhớ và tư duy suy luận của tôi

---

Câu 1: Đồ thị hàm số \( y = 2x^2 - 4x + 1 \) có trục đối xứng là:

\( x = -1 \) \( x = 1 \) \( x = 2 \) \( x = -2 \)

Câu 2:Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số \( y = x^2 - 6x + 5 \) là:

\( (3, -4) \) \( (3, 5) \) \( (-3, 5) \) \( (-3, 5) \)

Câu 3:Hàm số \( y = -x^2 + 4x + 3 \) có đồ thị đi qua điểm nào sau đây?

\( (1, 6) \) \( (0, 3) \) \( (2, 7) \) \( (3, 0) \)

Câu 4:Hàm số \( y = -x^2 + 2x - 1 \) có hệ số \( a \) là:

\( -2 \) \( -1 \) \( 1 \) \( 2 \)

Câu 5: Hàm số \( y = 3x^2 + 6x - 2 \) có trục đối xứng là:

\( x = 3 \) \( x = -3 \) \( x = -1 \) \( x = 1 \)

Câu 6: Nếu hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có \( a > 0 \), thì đồ thị của nó có hình dạng nào?

Hình chữ V ngược Hình chữ V ngược Parabol mở xuống Parabol mở lên

Câu 7:Tọa độ đỉnh của đồ thị hàm số \( y = 2x^2 + 8x + 5 \) là:

\( (2, -3) \) \( (-2, 3) \) \( (-2, -3) \) \( (2, 3) \)

Câu 8:Đồ thị hàm số \( y = x^2 - 4x + 4 \) cắt trục \( Ox \) tại điểm nào?

\( (0, 4) \) \( (4, 0) \) \( (2, 0) \) \( (-2, 0) \)

Câu 9: Hàm số \( y = -2x^2 + 6x - 1 \) có giá trị lớn nhất tại:

\( x = 1 \) \( x = -1 \) \( x = 1.5 \) \( x = -1.5 \)

Câu 10: Hàm số \( y = -x^2 + 4x - 3 \) có đồ thị đi qua điểm nào sau đây? .

\( (1, 2) \) \( (2, 1) \) \( (2, 1) \) \( (3, 1) \)

Xem lời giải chi tiết Đăng ký lớp học miễn phí Danh sách bài Test

Tích vô hướng của hai véc tơ

Hướng dẫn tự học I. Về kiến thức - Trong Vật lí, Có thức tính công A của lực $\vec{F}$

Tích của một số với một vectơ

Tóm tắt lý thuyết cơ bản và bài tập mẫu

---

1. Vẫn là biết về véc tơ, ở lớp 10 (cơ bản), các em nghĩ/ biết véc tơ như thế nào?
- Véc tơ $\vec{AB}$:
+ Hướng của véc tơ: Từ điểm đầu A đến điểm cuối B
+ Độ dài của véc tơ: Khoảng cách giữa điểm A và điểm B

---

- Véc tơ $\vec{BA}$:
+ Hướng của véc tơ: Từ điểm đầu B đến điểm cuối A
+ Độ dài của véc tơ: Khoảng cách giữa điểm A và điểm B
- Bạn dùng tư duy so sánh của bạn, hãy so sánh về hướng và độ dài của hai véc tơ: $\vec{AB}$, $\vec{BA}$:

---

- Bạn dùng tư duy so sánh của bạn, hãy so sánh về hướng và độ dài của hai véc tơ: $\vec{AB}$,-$\vec{AB}$:

---

- Bạn hãy dùng tư duy của mình, trả lời cầu hỏi: (1). $\vec{AB}$+ $\vec{BA}$ =? (2). $\vec{AB}$- $\vec{AB}$=?

---

- Tài liệu 1 xem TẠI ĐÂY
- Tài liệu 2 xem TẠI ĐÂY

Tổng, hiệu hai véc tơ - Toán 10

Tóm tắt lý thuyết cơ bản và bài tập mẫu

I. Tóm tắt lý thuyết cơ bản
(1) Định nghĩa tổng hai vectơ:
Cho hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .
- Lấy một điểm A tùy ý, vẽ $\vec{AB}$ =$\vec{a}$, vẽ $\vec{BC}$ =$\vec{b}$.
- Vectơ $\vec{AB}$ được gọi là tổng của hai $\vec{a}$ và $\vec{b}$ ; .
* Vậy $\vec{AC}$ =$\vec{a}$ + $\vec{b}$
⑵ Điểm đặc biệt:
- Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì $\vec{IA}$ + $\vec{IB}$ =$\vec{0}$
- Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC thì $\vec{GA}$+$\vec{GB}$+ $\vec{GC}$=$\vec{0}$
⑶ Tính chất: Với $\vec{a}$, $\vec{b}$ , $\vec{c}$ tùy ý, ta có:
- Tính chất giao hoán: $\vec{a}$+ $\vec{b}$=$\vec{b}$ +$\vec{a}$
. - Tính chất kết hợp: ( $\vec{a}$+ $\vec{b}$)+ $\vec{c}$ =$\vec{a}$+( $\vec{b}$+ $\vec{c}$)
(4) Các công thức kkác
- Quy tắc ba điểm: Với 3 điểm A, B, C, ta cố: $\vec{AB}$ +$\vec{BC}$=$\vec{AC}$
- Quy tắc hình bình hành: Tứ giá ABCD là hình bình hành thì $\vec{AB}$+ $\vec{AD}$=$\vec{AC}$
II. Ví dụ cơ bản

---

(1) ---------- Xem tại liệu số 1 - Bài tập tự luận theo đường tại đây

---

(2) ---------- Xem tại liệu số 2 - Bài tập trắc nghiệm theo đường tại đây

Tập luyện 1 - Tập hợp, các phép toán trên tập hơp

Bài kiểm tra trắc nghiệm

Câu 1: Thủ đô của Việt Nam là gì?

Hà Nội TP. Hồ Chí Minh Đà Nẵng Hải Phòng

Câu 2: 2 + 2 bằng mấy?

3 5 4 6

Câu 3: Ngày quốc khánh của Việt Nam là ngày nào?

30/4 2/9 1/5 19/8