Đỉnh, trục đối xứng của parabol và Parabol giao nhau với các trục

1. Định nghĩa Parabol - Parabol là đồ thị của hàm số bậc hai có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0) \] - Parabol có hình dạng đối xứng qua một đường thẳng gọi là trục đối xứng
2. Các yếu tố đặc trưng của Parabol a) Đỉnh của Parabol - Đỉnh của Parabol là điểm thấp nhất (nếu \(a > 0\)) hoặc cao nhất (nếu \(a < 0\)).
- Tọa độ đỉnh được xác định bằng công thức:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a}, \quad y_{\text{đỉnh}} = f(x_{\text{đỉnh}}) \] Hay viết gọn:
\[ \text{Đỉnh } (x_{\text{đỉnh}}, y_{\text{đỉnh}}) = \left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right) \] Trong đó, \(\Delta = b^2 - 4ac\) là biệt thức (discriminant)
b) Trục đối xứng
- Trục đối xứng của Parabol là đường thẳng song song với trục tung, đi qua đỉnh:
\[ x = -\frac{b}{2a} \] c) Giao điểm với các trục tọa độ
1. Giao điểm với trục hoành (\(y = 0\))
- Xác định bằng cách giải phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\).
- Phương trình này có:.
- Hai nghiệm phân biệt (\(\Delta > 0\)): Parabol cắt trục hoành tại hai điểm
- Nghiệm kép (\(\Delta = 0\)): Parabol tiếp xúc với trục hoành tại một điểm.
- Không có nghiệm thực (\(\Delta <0\)): Parabol không cắt trục hoành.
2. Giao điểm với trục tung (\(x = 0\))
- Khi \(x = 0\), \(y = c\).
- Giao điểm là \((0, c)\).
3. Dấu hiệu nhận biết
Hướng của Parabol
- Nếu \(a > 0\): Parabol mở lên.
- Nếu \(a <0\): Parabol mở xuống.
- Đỉnh Parabol**: Dựa vào công thức tọa độ \((-b/2a, f(-b/2a))\).
- Sự đối xứng
- Các điểm đối xứng qua trục đối xứng có cùng hoành độ nhưng giá trị \(y\) bằng nhau
4. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Xác định đỉnh, trục đối xứng và giao điểm với các trục
Cho hàm số: \(y = 2x^2 - 4x + 1\)
Giải
- Tọa độ đỉnh:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1, \quad y_{\text{đỉnh}} = 2(1)^2 - 4(1) + 1 = -1. \] Đỉnh: \((1, -1)\). - Trục đối xứng:
\[ x = 1 \] - Giao điểm với trục tung:
\[ x = 0 \implies y = 1 \quad \text{(Giao điểm: \((0, 1)\))}. \] - Giao điểm với trục hoành:
\[ 2x^2 - 4x + 1 = 0 \implies \Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 8. \] Phương trình có hai nghiệm:
\[ x_1 = \frac{-(-4) + \sqrt{8}}{2 \cdot 2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{2}, \quad x_2 = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}. \] Giao điểm: \(\left(\frac{2+\sqrt{2}}{2}, 0\right)\) và \(\left(\frac{2-\sqrt{2}}{2}, 0\right)\).
Ví dụ 2: Nhận biết Parabol không cắt trục hoành
Xét \(y = x^2 - 2x + 2\):
- Tính \(\Delta = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -4\).
- Vì \(\Delta < 0\), Parabol không cắt trục hoành.
5. Bài tập củng cố.
1. Xác định tọa độ đỉnh và trục đối xứng của Parabol \(y = -3x^2 + 6x - 1\).
2. Xác định giao điểm với các trục tọa độ của Parabol \(y = x^2 - 5x + 6\).
3. Cho \(y = 4x^2 + 8x + 3\), hãy vẽ Parabol và xác định hướng mở của nó.
5. Tính đồng biến, nghịch biến của Parabol Parabol, là đồ thị của hàm số bậc hai \( y = ax^2 + bx + c \), có một điểm đặc biệt là đỉnh Parabol.
Dựa vào đỉnh và hệ số \( a \), ta xác định được tính đồng biến và nghịch biến trên từng khoảng xác định.
1. Tính chất đồng biến, nghịch biến
- Đồng biến: Hàm số \( y \) tăng khi \( x \) tăng (giá trị \( y \) lớn dần theo \( x \)).
- Nghịch biến**: Hàm số \( y \) giảm khi \( x \) tăng (giá trị \( y \) nhỏ dần theo \( x \)).
Với \( y = ax^2 + bx + c \):
- Đỉnh Parabol có hoành độ:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{b}{2a}. \] - Tính chất
- Nếu \( x < x_{\text{đỉnh}} \): Hàm số ghịch biến
- Nếu \( x > x_{\text{đỉnh}} \): Hàm số đồng biến.
2. Xác định trên từng khoảng
- Hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có: - Khoảng nghịch biến: \( (-\infty, x_{\text{đỉnh}}) \).
- Khoảng đồng biến: \( (x_{\text{đỉnh}}, +\infty) \).
- Hàm số \( y = ax^2 + bx + c \) có:
- Khoảng nghịch biến: \( (-\infty, x_{\text{đỉnh}}) \).
- **Khoảng đồng biến \( (x_{\text{đỉnh}}, +\infty) \).
3. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = 2x^2 - 4x + 3 \).
Giải:
- Hoành độ đỉnh I:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{-4}{2 \cdot 2} = 1. \] - Với \( a = 2 > 0 \): Parabol có bề lõm lên trên.
- Tính đồng biến, nghịch biến:
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \).
- Hàm số đồng biến trên khoảng \( (1, +\infty) \).
Ví dụ 2: Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = -x^2 + 2x - 1 \).
Giải
- Hoành độ đỉnh I:
\[ x_{\text{đỉnh}} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1.
\] - Với \( a = -1 < 0 \): Parabol có bề lõm xuống dưới.
- Tính đồng biến, nghịch biến:
- Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, 1) \).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng \( (1, +\infty) \).
4. Hướng dẫn xác định trên đồ thị
- Bước 1: Xác định tọa độ đỉnh Parabol.
- Bước 2: Xét hệ số \( a \) để biết Parabol mở lên hay xuống.
- Bước 3: Dựa vào trục đối xứng \( x = x_{\text{đỉnh}} \), chia miền giá trị \( x \) thành hai khoảng.
- Bước 4: Phân tích đồng biến, nghịch biến trên từng khoảng.
5. Bài tập tự luyện
1. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = x^2 - 6x + 5 \).
2. Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số \( y = -3x^2 + 12x - 5 \).
3. Tìm giá trị \( a \) để hàm số \( y = ax^2 + 4x + 1 \) đồng biến trên khoảng \( (2, +\infty) \).