Luyện tập 2 - Dấu tam thức bậc hai (mức vận dụng)

Câu 1: Cho tam thức bậc hai \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \). Tìm giá trị \( x \) để \( f(x) > 0 \).

• A. \( x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \)
• B. \( x \in (2; 4) \)
• C. \( x \in (-\infty; 4) \cup (2; +\infty) \)
• D. \( x \in (-\infty; +\infty) \)

Đáp án: A

Lời giải:
Ta có tam thức \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \), hệ số \( a = 1 > 0 \) (parabol có bề lỡm hướng lên).
- Giải phương trình \( f(x) = 0 \): \[ x^2 - 6x + 8 = 0 \implies (x - 2)(x - 4) = 0 \implies x = 2 \, \text{hoặc} \, x = 4. \]
- Do \( a > 0 \), \( f(x) > 0 \) khi \( x \in (-\infty; 2) \cup (4; +\infty) \).

Nhận xét, đánh giá Câu hỏi kiểm tra khả năng giải phương trình bậc hai và suy luận về dấu của tam thức dựa vào đồ thị. Học sinh cần nhớ quy tắc dấu khi \( a > 0 \) (ngoài khoảng nghiệm).
- Câu hỏi mức độ vận dụng thấp.

Câu 2: Cho tam thức \( f(x) = 2x^2 - 3x - 2 \).Khoảng nào dưới đây là tập hợp giá trị của \( x \) để \( f(x) < 0 \)?

• A. \( x \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup (2; +\infty) \)
• B. \( x \in (-\frac{1}{2}; 2) \)
• C. \( x \in (-\infty; -2) \cup (1; +\infty) \)
• D. \( x \in (-\frac{1}{2}; +\infty) \)

Đáp án: B

Lời giải:
Tam thức \( f(x) = 2x^2 - 3x - 2 \), \( a = 2 > 0 \).
- Giải phương trình \( f(x) = 0 \): \[ 2x^2 - 3x - 2 = 0 \implies x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}. \] \[ x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = 2. \]
- Vì \( a > 0 \), \( f(x) < 0 \) khi \( x \in (x_1; x_2) = (-\frac{1}{2}; 2) \).

Nhận xét, đánh giá Câu hỏi yêu cầu học sinh vừa phải giải phương trình bậc hai vừa xác định đúng khoảng dấu của tam thức.
- Câu hỏi ở mức vận dụng trung bình, yêu cầu học sinh nắm chắc phương pháp giải phương trình và quy luật dấu.

Câu 3: Tìm giá trị \( m \) để tam thức \( f(x) = x^2 + (2m - 3)x + m^2 - m - 2 \) có nghiệm và hai nghiệm cùng dấu.

• A. \( m \in (-\infty; 1) \)
• B. \( m \in (1; +\infty) \)
• C. \( m \in \mathbb{R} \setminus \{1\} \)
• D. \( m = 1 \)

Đáp án: A

Lời giải:
- Tam thức \( f(x) \) có nghiệm khi \( \Delta \geq 0 \): \[ \Delta = b^2 - 4ac = (2m - 3)^2 - 4(1)(m^2 - m - 2). \] \[ \Delta = 4m^2 - 12m + 9 - 4m^2 + 4m + 8 = -8m + 17. \]
- Điều kiện \( \Delta \geq 0 \): \[ -8m + 17 \geq 0 \implies m \leq \frac{17}{8}. \]
- Để hai nghiệm cùng dấu, phải thỏa \( a \cdot c > 0 \): \[ c = m^2 - m - 2 \implies m^2 - m - 2 > 0. \]
- Phân tích \( m^2 - m - 2 = (m - 2)(m + 1) > 0 \), nghiệm là \( m \in (-\infty; -1) \cup (2; +\infty) \).
- Kết hợp, \( m \in (-\infty; -1) \cup (2; \frac{17}{8}] \).

Nhận xét, đánh giá Câu hỏi này phức tạp hơn, yêu cầu phân tích điều kiện nghiệm và dấu tam thức.
- Câu hỏi ở mức vận dụng cao, phù hợp kiểm tra tư duy tổng hợp.

Câu 4: Tam thức \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \). Tìm tập hợp giá trị của \( x \) để \( f(x) \geq 0 \).

• A. \( x \in (1; 3) \)
• B. \( x \in [1; 3] \)
• C. \( x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty) \).
• D. \( x \in [1; 3) \)

Đáp án: B

Lời giải:
- Tam thức \( f(x) = -x^2 + 4x - 3 \), \( a = -1 < 0 \).
- Giải phương trình \( f(x) = 0 \): \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \implies x^2 - 4x + 3 = 0 \implies (x - 1)(x - 3) = 0. \]
- Nghiệm: \( x = 1 \), \( x = 3 \).
- Vì \( a < 0 \), \( f(x) \geq 0 \) khi \( x \in [1; 3] \).

Nhận xét, đánh giá Câu hỏi giúp học sinh hiểu rõ hơn dấu tam thức khi \( a < 0 \).
- Mức độ vận dụng trung bình, cần kỹ năng xác định đúng dấu và nghiệm.

Câu 5: Tam thức \( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \). Tìm giá trị \( k \) để phương trình \( f(x) = k \) có nghiệm.

• A. \( k \in (-\infty; \frac{1}{12}] \)
• B. \( k \in [\frac{1}{12}; +\infty) \)
• C. \( k \in (-\infty; \frac{1}{12}) \) .
• D. \( k \in \mathbb{R} \)

Đáp án: A

Lời giải:
- Phương trình \( f(x) = k \) tương đương \( 3x^2 - 5x + (2 - k) = 0 \).
- Phương trình có nghiệm khi \( \Delta' \geq 0 \): \[ \Delta' = (-\frac{5}{2})^2 - 3(2 - k) = \frac{25}{4} - 6 + 3k = \frac{1}{4} + 3k. \]
- Điều kiện \( \Delta' \geq 0 \): \[ \frac{1}{4} + 3k \geq 0 \implies k \geq -\frac{1}{12}. \]

Nhận xét, đánh giá Câu hỏi kiểm tra khả năng biến đổi tham số trong phương trình bậc hai.
- Câu hỏi vận dụng cao, yêu cầu tư duy logic và hiểu rõ mối liên hệ giữa \( k \) và nghiệm.

Câu 6: Một công ty cần dựng một hàng rào hình chữ nhật với chiều dài hơn chiều rộng 4m. Diện tích hàng rào dự kiến là 96m². Tìm khoảng chiều rộng \( x \) (m) để chu vi hàng rào không vượt quá 40m.

• A. \( x \in (4; 8) \)
• B. \( x \in [4; 6] \)
• C. \( x \in (6; 8) \) .
• D. \( x \in [4; 8] \)

Đáp án: D

Lời giải:
- Gọi \( x \) là chiều rộng (m), chiều dài là \( x + 4 \) (m).
- Diện tích hàng rào: \[ x(x + 4) = 96 \implies x^2 + 4x - 96 = 0. \]
- Giải phương trình: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 384}}{2} = \frac{-4 \pm 20}{2} \implies x = 8 \, \text{(nhận)} \, \text{hoặc} \, x = -12 \, \text{(loại)}. \]
- Xét chu vi: \[ P = 2(x + x + 4) = 4x + 8 \leq 40 \implies x \leq 8. \]
- Do \( x > 0 \), chiều rộng \( x \in [4; 8] \).

Nhận xét, đánh giá
- Câu hỏi áp dụng thực tế yêu cầu học sinh hiểu dấu của tam thức và tính chất hình học.
- Mức độ vận dụng thấp, phù hợp làm quen với bài toán thực tế.

Câu 7: Một người ném quả bóng từ độ cao 2m so với mặt đất. Phương trình quỹ đạo của bóng là \( h(x) = -x^2 + 6x + 2 \), trong đó \( h(x) \) (m) là độ cao và \( x \) (m) là khoảng cách theo phương ngang. Hỏi bóng bay ở độ cao lớn hơn 8m trên đoạn nào?

• A. \( x \in (1; 5) \)
• B. \( x \in (2; 4) \)
• C. \( x \in (1; 4) \) .
• D. \( x \in (0; 6) \)

Đáp án: B

Lời giải:
- Điều kiện \( h(x) > 8 \): \[ -h^2 + 6x + 2 > 8 \implies -x^2 + 6x - 6 > 0 \implies -x^2 + 6x - 6 = 0. \]
- Giải phương trình: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(-1)(-6)}}{-2} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}. \]
- Tam thức \( -x^2 + 6x - 6 \) nhận giá trị dương trong khoảng \( x \in (3 - \sqrt{3}; 3 + \sqrt{3}) \).

Nhận xét, đánh giá
- Câu hỏi kiểm tra khả năng giải tam thức và kết hợp điều kiện vật lý thực tế.
- Mức độ vận dụng trung bình, học sinh cần kỹ năng phân tích và vẽ đồ thị đơn giản.

Câu 8:Một hồ nước được thiết kế hình parabol với phương trình \( y = -\frac{1}{2}x^2 + 4 \) (đơn vị tính bằng mét). Hỏi chiều rộng mặt nước (tính theo trục \( x \)) khi độ sâu của nước lớn hơn 3m.

• A. \( x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \)
• B. \( x \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2}) \)
• C. \( x \in (-\sqrt{5}; \sqrt{5}) \) .
• D. \( x \in (-2; 2) \)

Đáp án: A

Lời giải:
- Điều kiện \( y > 3 \): \[ -\frac{1}{2}x^2 + 4 > 3 \implies -\frac{1}{2}x^2 > -1 \implies x^2 < 2. \]
- Vậy, chiều rộng mặt nước là \( x \in (-\sqrt{2}; \sqrt{2}) \).

Nhận xét, đánh giá
- Câu hỏi ứng dụng mô hình thực tế và kiểm tra tư duy toán học trong hình học phẳng.
- Mức độ vận dụng trung bình, phù hợp giúp học sinh hiểu thêm ứng dụng đồ thị vào thực tiễn.

Câu 9: Một quả pháo hoa được bắn lên với phương trình \( h(t) = -5t^2 + 30t + 40 \) (độ cao tính bằng mét, thời gian tính bằng giây). Hỏi quả pháo hoa cao hơn 70m trong khoảng thời gian nào?

• A. \( t \in (1; 5) \)
• B. \( t \in (0; 5) \)
• C. \( t \in (1; 4) \) .
• D. \( t \in (2; 4) \)

Đáp án: D

Lời giải:
- Điều kiện \( h(t) > 70 \): \[ -5t^2 + 30t + 40 > 70 \implies -5t^2 + 30t - 30 > 0 \implies -t^2 + 6t - 6 = 0. \]
- Giải phương trình: \[ t = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(1)(-6)}}{2} = 3 \pm \sqrt{3}. \]
- Do \( a = -5 < 0 \), \( h(t) > 70 \) trong khoảng \( t \in (3 - \sqrt{3}; 3 + \sqrt{3}) \).

Nhận xét, đánh giá
- Câu hỏi yêu cầu kỹ năng tính toán kết hợp kiến thức chuyển động.
- Mức độ vận dụng cao, phù hợp với học sinh khá giỏi.

Câu 10:Một khu vườn hình parabol có phương trình \( y = -x^2 + 5x + 6 \). Tìm khoảng \( x \) để diện tích trồng cây phía dưới parabol (được giới hạn bởi trục hoành) lớn hơn 10m².

• A. \( x \in (1; 4) \)
• B. \( x \in (0; 5) \)
• C. \( x \in (1; 3) \) .
• D. \( x \in (2; 4) \)

Đáp án: A

Lời giải:
- Phương trình parabol giao trục hoành khi \( y = 0 \): \[ -x^2 + 5x + 6 = 0 \implies x^2 - 5x - 6 = 0 \implies x = -1, \, 6. \]
- Diện tích lớn hơn 10m²: \( A = \int_{a}^{b}(-x^2 + 5x + 6)dx > 10 \). Sử dụng phương pháp tính thực tế (cụ thể hơn sẽ cần hướng dẫn đồ thị).

Nhận xét, đánh giá
- Bài toán ứng dụng thực tiễn đòi hỏi tư duy giải tích hoặc trực giác cao khi xử lý parabol.
- Phù hợp nâng cao với học sinh hướng phân tích.