Tính đơn điệu của hàm số - phần 2

 

Cách thể hiện tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên

1. Bảng biến thiên là gì?

• Bảng biến thiên giúp chúng ta biết được khi nào hàm số tăng (đồng biến) và khi nào hàm số giảm (nghịch biến).
• Nó dựa trên dấu của đạo hàm $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, và được trình bày dưới dạng một bảng dễ hiểu.

2. Các bước lập bảng biến thiên:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $f^{\mathrm{\prime }}(x)$

• Đạo hàm giúp ta xác định khi nào hàm số tăng hay giảm.

Ví dụ: Với hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2$, ta tính đạo hàm:
$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Bước 2: Tìm các điểm đặc biệt

• Giải phương trình $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{0 }$ để tìm ra các điểm quan trọng. Đây là những điểm mà hàm số có thể đổi từ tăng sang giảm hoặc ngược lại.

Với ví dụ:$3x^2 - 6x = 0$
$\Rightarrow x = 0$  hoặc $x = 2$.

Bước 3: Xét dấu của $f^{\mathrm{\prime }}(x)$trên từng khoảng

• Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng mà ta vừa tìm được.

Ta chia trục số thành các khoảng: $(-\infty, 0)$, $(0,2),$$(2, +\infty)$.
Xét dấu của $f'(x)$ trên từng khoảng:

• Trên $(-\infty, 0)$, chọn $x = -1$, tính được $f^{\mathrm{\prime }}(-1)>\mathrm{0 }$ (Đồng biến).
• Trên $(0,2)$, chọn $x=\mathrm{1,\; tính\; được }$$f^{\mathrm{\prime }}(1)<\mathrm{0 }$ (Nghịch biến).
• Trên $(2, +\infty)$, chọn $x=\mathrm{3,\; tính\; được }$$f^{\mathrm{\prime }}(3)>0$(Đồng biến).

Bước 4: Lập bảng biến thiên

• Dựa trên các dấu của đạo hàm, ta lập bảng biến thiên để thể hiện rõ khi nào hàm số tăng và giảm.

$x$	$-\infty$	$0$	$2$	$+\infty$
$f^{\mathrm{\prime }}(x)$	+		-
$f(x)$	Tăng	Cực đại	Giảm	Cực tiểu

• Dòng dấu của $f^{\mathrm{\prime }}(x)$: thể hiện khi nào $f^{\mathrm{\prime }}(x)$dương (tăng), khi nào $f^{\mathrm{\prime }}(x)$âm (giảm).
• Dòng của $f(x)$ ta ghi rõ hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng và điểm cực đại, cực tiểu.

3. Kết luận từ bảng biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$và $(2, +\infty)$.
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$.

4. Mẹo để dễ nhớ:

• Khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)>\mathrm{0 }$: Hàm số đồng biến (tăng).
• Khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)<\mathrm{0 }$: Hàm số nghịch biến (giảm).
• Nhìn bảng biến thiên sẽ giúp ta dễ dàng thấy được các khoảng tăng, giảm và các điểm cực trị.

4. Mẹo để dễ nhớ:

• Khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$: Hàm số đồng biến (tăng).
• Khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$: Hàm số nghịch biến (giảm).
• Nhìn bảng biến thiên sẽ giúp ta dễ dàng thấy được các khoảng tăng, giảm và các điểm cực trị.

BÀI TẬP CỦNG CỐ VỀ XÉT TÍNH ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Dưới đây là 5 câu hỏi trắc nghiệm về xét tính đơn điệu của hàm số dựa vào bảng biến thiên và đồ thị, dành cho học sinh lớp 12. Các câu hỏi này giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về cách xác định sự tăng giảm của hàm số thông qua việc phân tích đồ thị và bảng biến thiên. ### Câu 1: Xem xét hàm số \(y = x^3 - 3x^2 + 2\). Phát biểu nào sau đây đúng? - A. Hàm số đồng biến trên khoảng \((-\infty, +\infty)\). - B. Hàm số đồng biến trên khoảng \((0, 2)\) và nghịch biến trên khoảng \((2, +\infty)\). - C. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((0, 2)\) và đồng biến trên khoảng \((2, +\infty)\). - D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty, 1)\) và đồng biến trên khoảng \((1, +\infty)\). ### Câu 2: Đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{x}\) có bao nhiêu đường tiệm cận? - A. 1 đường tiệm cận ngang và 1 đường tiệm cận đứng. - B. 2 đường tiệm cận ngang và 1 đường tiệm cận đứng. - C. 1 đường tiệm cận ngang và 2 đường tiệm cận đứng. - D. 2 đường tiệm cận ngang và 2 đường tiệm cận đứng. ### Câu 3: Bảng biến thiên của hàm số \(y = -x^2 + 4x - 3\) cho thấy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại \(x =\): - A. 0 - B. 2 - C. 3 - D. 4 ### Câu 4: Dựa vào đồ thị hàm số, phát biểu nào sau đây đúng khi nói về hàm số \(y = x^4 - 2x^2 + 1\)? - A. Hàm số luôn đồng biến trên \(\mathbb{R}\). - B. Hàm số có hai điểm cực trị. - C. Hàm số có một điểm cực tiểu và không có điểm cực đại. - D. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. ### Câu 5: Xem xét hàm số \(y = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\). Dựa vào bảng biến thiên, hãy xác định khoảng nào dưới đây hàm số đồng biến? - A. \((0, 2)\) - B. \((0, 3)\) - C. \((3, +\infty)\) - D. \((-∞, 3)\) và \((3, + \infty)\) **Đáp án:** 1. D. Hàm số nghịch biến trên khoảng \((-\infty, 1)\) và đồng biến trên khoảng \((1, +\infty)\). 2. A. 1 đường tiệm cận ngang và 1 đường tiệm cận đứng. 3. B. 2 4. D. Hàm số có một điểm cực đại và hai điểm cực tiểu. 5. C. \((3, +\infty)\) Những câu hỏi này được thiết kế để giúp học sinh hiểu rõ cách xác định tính đơn điệu của hàm số thông qua việc phân tích bảng biến thiên và đồ thị, cũng như khả năng xác định vị trí của các điểm cực trị và tiệm cận trong đồ thị hàm số.

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

BÀI 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Tài tài liệu theo đường link:Cực trị của hàm số (tài liệu ở mức 1)

Tài liệu xem hoặc tải về theo đường link: Cực trị của hàm số (Mức độ 2)

SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

SỰ ĐỒNG BIỀN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

Tải File về máy TẠI ĐÂY

TÀI LIỆU TOÁN ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT

CHUYÊN ĐỀ TOÁN 12 Hướng dẫn thực hiện thao tác: Nhấn nút trái chuột tại các chuyên đề để xem và tải tài liệu về
Chương 1 - GT
Chương 2-GT
Chương 3 - GT
Chương 4 - GT
Chương 1 - HH
Chương 2 - HH
Chương 3 - HH