Tính đơn điệu của hàm số - phần 2

 

Cách thể hiện tính đồng biến, nghịch biến của hàm số trong bảng biến thiên

1. Bảng biến thiên là gì?

• Bảng biến thiên giúp chúng ta biết được khi nào hàm số tăng (đồng biến) và khi nào hàm số giảm (nghịch biến).
• Nó dựa trên dấu của đạo hàm $f^{\mathrm{\prime }}(x)$, và được trình bày dưới dạng một bảng dễ hiểu.

2. Các bước lập bảng biến thiên:

Bước 1: Tính đạo hàm cấp một $f^{\mathrm{\prime }}(x)$

• Đạo hàm giúp ta xác định khi nào hàm số tăng hay giảm.

Ví dụ: Với hàm số $f(x) = x^3 - 3x^2$, ta tính đạo hàm:
$f'(x) = 3x^2 - 6x$

Bước 2: Tìm các điểm đặc biệt

• Giải phương trình $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{0 }$ để tìm ra các điểm quan trọng. Đây là những điểm mà hàm số có thể đổi từ tăng sang giảm hoặc ngược lại.

Với ví dụ:$3x^2 - 6x = 0$
$\Rightarrow x = 0$  hoặc $x = 2$.

Bước 3: Xét dấu của $f^{\mathrm{\prime }}(x)$trên từng khoảng

• Xác định dấu của đạo hàm trên các khoảng mà ta vừa tìm được.

Ta chia trục số thành các khoảng: $(-\infty, 0)$, $(0,2),$$(2, +\infty)$.
Xét dấu của $f'(x)$ trên từng khoảng:

• Trên $(-\infty, 0)$, chọn $x = -1$, tính được $f^{\mathrm{\prime }}(-1)>\mathrm{0 }$ (Đồng biến).
• Trên $(0,2)$, chọn $x=\mathrm{1,\; tính\; được }$$f^{\mathrm{\prime }}(1)<\mathrm{0 }$ (Nghịch biến).
• Trên $(2, +\infty)$, chọn $x=\mathrm{3,\; tính\; được }$$f^{\mathrm{\prime }}(3)>0$(Đồng biến).

Bước 4: Lập bảng biến thiên

• Dựa trên các dấu của đạo hàm, ta lập bảng biến thiên để thể hiện rõ khi nào hàm số tăng và giảm.

$x$	$-\infty$	$0$	$2$	$+\infty$
$f^{\mathrm{\prime }}(x)$	+		-
$f(x)$	Tăng	Cực đại	Giảm	Cực tiểu

• Dòng dấu của $f^{\mathrm{\prime }}(x)$: thể hiện khi nào $f^{\mathrm{\prime }}(x)$dương (tăng), khi nào $f^{\mathrm{\prime }}(x)$âm (giảm).
• Dòng của $f(x)$ ta ghi rõ hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng và điểm cực đại, cực tiểu.

3. Kết luận từ bảng biến thiên:

• Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty, 0)$và $(2, +\infty)$.
• Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$.

4. Mẹo để dễ nhớ:

• Khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)>\mathrm{0 }$: Hàm số đồng biến (tăng).
• Khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)<\mathrm{0 }$: Hàm số nghịch biến (giảm).
• Nhìn bảng biến thiên sẽ giúp ta dễ dàng thấy được các khoảng tăng, giảm và các điểm cực trị.

4. Mẹo để dễ nhớ:

• Khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$: Hàm số đồng biến (tăng).
• Khi $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$: Hàm số nghịch biến (giảm).
• Nhìn bảng biến thiên sẽ giúp ta dễ dàng thấy được các khoảng tăng, giảm và các điểm cực trị.