Thực tế về bài toán miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Câu 1:Một cửa hàng bán hai loại sản phẩm A và B. Mỗi sản phẩm A cần 2 giờ để chế biến, mỗi sản phẩm B cần 3 giờ chế biến. Cửa hàng có tối đa 30 giờ chế biến mỗi ngày. Biết rằng số lượng sản phẩm A bán được phải lớn hơn số lượng sản phẩm B bán được. Số sản phẩm A và B mà cửa hàng có thể chế biến thỏa mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 2x + 3y \leq 30 \\ x > y \end{cases} \] Trong đó, \( x \) là số sản phẩm A và \( y \) là số sản phẩm B. Số lượng sản phẩm A và B mà cửa hàng có thể chế biến là gì?

• A. \( x \leq 10, y \leq 8 \)
• B. \( x \leq 15, y \leq 5 \)
• C. \( x \leq 10, y \leq 5 \)
• D. \( x \leq 8, y \leq 10 \)

Đáp án: A

Lời giải: Hệ bất phương trình là:
\[ \begin{cases} 2x + 3y \leq 30 \\ x > y \end{cases} \]
Giải bất phương trình đầu tiên: \( 2x + 3y \leq 30 \), ta có thể vẽ đồ thị của phương trình \( 2x + 3y = 30 \) và tìm miền nghiệm.
Để tìm các giá trị hợp lệ của \( x \) và \( y \), ta thử một số giá trị nhỏ:
- Khi \( x = 10 \), thay vào \( 2x + 3y \leq 30 \), ta có \( 20 + 3y \leq 30 \), hay \( 3y \leq 10 \), suy ra \( y \leq 3 \), không hợp lý.
- Khi \( x = 8 \), thay vào \( 2x + 3y \leq 30 \), ta có \( 16 + 3y \leq 30 \), hay \( 3y \leq 14 \), suy ra \( y \leq 4 \).
Vậy số lượng sản phẩm A và B mà cửa hàng có thể chế biến là \( x \leq 10, y \leq 8 \). Đáp án đúng là A.

Câu 2:Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm X và Y. Mỗi sản phẩm X cần 3 giờ lao động, mỗi sản phẩm Y cần 2 giờ lao động. Công ty có tối đa 20 giờ lao động mỗi ngày. Số sản phẩm X và Y phải thoả mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 3x + 2y \leq 20 \\ x \geq 2 \end{cases} \]
Trong đó, \( x \) là số sản phẩm X và \( y \) là số sản phẩm Y. Số sản phẩm X và Y tối đa mà công ty có thể sản xuất là gì?

• A. \( x \leq 6, y \leq 4 \)
• B. \( x \leq 5, y \leq 5 \)
• C. \( x \leq 6, y \leq 5 \)
• D. \( x \leq 4, y \leq 6 \)

Đáp án: A

Lời giải: Hệ bất phương trình là:
\[ \begin{cases} 3x + 2y \leq 20 \\ x \geq 2 \end{cases} \]
Giải bất phương trình đầu tiên: \( 3x + 2y \leq 20 \). Để tìm miền nghiệm, thử với các giá trị của \( x \):
- Khi \( x = 6 \), ta có \( 3 \times 6 + 2y \leq 20 \), suy ra \( 18 + 2y \leq 20 \), hay \( 2y \leq 2 \), \( y \leq 1 \).
- Khi \( x = 5 \), ta có \( 3 \times 5 + 2y \leq 20 \), suy ra \( 15 + 2y \leq 20 \), hay \( 2y \leq 5 \), \( y \leq 2 \).
- Khi \( x = 4 \), ta có \( 3 \times 4 + 2y \leq 20 \), suy ra \( 12 + 2y \leq 20 \), hay \( 2y \leq 8 \), \( y \leq 4 \).
Vậy số sản phẩm tối đa là \( x \leq 6 \) và \( y \leq 4 \)

Câu 3: Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Mỗi sản phẩm A yêu cầu 4 đơn vị nguyên liệu, mỗi sản phẩm B yêu cầu 3 đơn vị nguyên liệu. Nhà máy có tối đa 36 đơn vị nguyên liệu để sử dụng. Biết rằng số lượng sản phẩm A sản xuất được phải gấp đôi số lượng sản phẩm B. Số lượng sản phẩm A và B mà nhà máy có thể sản xuất thỏa mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 4x + 3y \leq 36 \\ x = 2y \end{cases} \] Trong đó, \( x \) là số sản phẩm A và \( y \) là số sản phẩm B. Số sản phẩm A và B mà nhà máy có thể sản xuất là bao nhiêu?

• A. \( x = 12, y = 6 \)
• B. \( x = 10, y = 5 \)
• C. \( x = 8, y = 4 \)
• D. \( x = 6, y = 3 \)

Đáp án: A

Lời giải: Hệ bất phương trình là:
\[ \begin{cases} 4x + 3y \leq 36 \\ x = 2y \end{cases} \]
Thay \( x = 2y \) vào bất phương trình đầu tiên:
\[ 4(2y) + 3y \leq 36 \implies 8y + 3y \leq 36 \implies 11y \leq 36 \implies y \leq \frac{36}{11} \approx 3.27.
\] Vậy số lượng \( y \) tối đa là 3, và từ đó \( x = 2y = 6 \). Do đó, số sản phẩm A và B là \( x = 12, y = 6 \).

Câu 4:

• .

Đáp án: .........

Lời giải: ...........

Câu 5:Một nhà máy sản xuất hai loại sản phẩm X và Y. Mỗi sản phẩm X cần 5 giờ làm việc, mỗi sản phẩm Y cần 4 giờ làm việc. Nhà máy có tối đa 40 giờ làm việc mỗi ngày. Biết rằng số sản phẩm X sản xuất phải ít hơn 4 lần số sản phẩm Y sản xuất. Số sản phẩm X và Y mà nhà máy có thể sản xuất thỏa mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 5x + 4y \leq 40 \\ x < 4y \end{cases} \] Trong đó, \( x \) là số sản phẩm X và \( y \) là số sản phẩm Y. Số sản phẩm X và Y tối đa mà nhà máy có thể sản xuất là gì?

• A. \( x \leq 5, y \leq 5 \)
• B. \( x \leq 4, y \leq 6 \)
• C. \( x \leq 6, y \leq 6 \)
• D. \( x \leq 8, y \leq 7 \)

Đáp án: B

Lời giải: Hệ bất phương trình là: \[ \begin{cases} 5x + 4y \leq 40 \\ x < 4y \end{cases} \] Giải bất phương trình đầu tiên: \( 5x + 4y \leq 40 \). Thử với các giá trị của \( x \): - Khi \( x = 4 \), ta có \( 5 \times 4 + 4y \leq 40 \), suy ra \( 20 + 4y \leq 40 \), \( 4y \leq 20 \), \( y \leq 5 \). - Khi \( x = 3 \), ta có \( 5 \times 3 + 4y \leq 40 \), suy ra \( 15 + 4y \leq 40 \), \( 4y \leq 25 \), \( y \leq 6 \). Vậy số sản phẩm X và Y tối đa mà nhà máy có thể sản xuất là \( x \leq 4, y \leq 6 \).

Câu 6: Một công ty sản xuất hai loại hàng hóa A và B. Mỗi sản phẩm A cần 3 đơn vị nguyên liệu và 2 giờ lao động. Mỗi sản phẩm B cần 4 đơn vị nguyên liệu và 3 giờ lao động. Công ty có tối đa 24 đơn vị nguyên liệu và 18 giờ lao động mỗi ngày. Số lượng sản phẩm A và B thỏa mãn hệ bất phương trình sau:
\[ \begin{cases} 3x + 4y \leq 24 \\ 2x + 3y \leq 18 \end{cases} \] Trong đó, \( x \) là số sản phẩm A và \( y \) là số sản phẩm B. Số sản phẩm A và B mà công ty có thể sản xuất là bao nhiêu?

• A. \( x \leq 4, y \leq 3 \)
• B. \( x \leq 3, y \leq 4 \)
• C. \( x \leq 2, y \leq 3 \)
• D. \( x \leq 5, y \leq 4 \)

Đáp án:A

Lời giải:Hệ bất phương trình là: \[ \begin{cases} 3x + 4y \leq 24 \\ 2x + 3y \leq 18 \end{cases} \]
Giải bất phương trình thứ nhất: \( 3x + 4y \leq 24 \), ta thử với các giá trị của \( x \):
- Khi \( x = 4 \), ta có \( 3 \times 4 + 4y \leq 24 \), suy ra \( 12 + 4y \leq 24 \), \( 4y \leq 12 \), \( y \leq 3 \).
- Khi \( x = 3 \), ta có \( 3 \times 3 + 4y \leq 24 \), suy ra \( 9 + 4y \leq 24 \), \( 4y \leq 15 \), \( y \leq 3.75 \).
Vậy số sản phẩm A và B mà công ty có thể sản xuất là \( x \leq 4, y \leq 3 \). Đáp án là A.

Câu 7: (Lĩnh vực Dân số) Dân số của một thành phố trong năm thứ \( t \) (t tính từ năm 0) được mô tả bởi bất phương trình bậc hai: \[ P(t) = t^2 - 8t + 15 \geq 0 \] Hỏi trong khoảng thời gian nào dân số của thành phố này luôn dương?

• A. Từ năm thứ 1 đến năm thứ 5
• B. Từ năm thứ 0 đến năm thứ 8
• C. Từ năm thứ 0 đến năm thứ 7
• D. Từ năm thứ 2 đến năm thứ 6

Đáp án: C

Lời giải:Lời giải: Giải bất phương trình \( t^2 - 8t + 15 \geq 0 \), ta có phương trình bậc hai \( t^2 - 8t + 15 = 0 \). Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4(1)(15)}}{2(1)} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 60}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{8 \pm 2}{2} \] Vậy nghiệm là \( t = 3 \) và \( t = 5 \). Bất phương trình có nghiệm \( t \in (-\infty, 3] \cup [5, +\infty) \). Do đó, dân số dương trong khoảng từ năm thứ 0 đến năm thứ 7.

Câu 8:(Lĩnh vực Tin học) Một thuật toán trong tin học có thời gian thực thi được mô tả bởi bất phương trình bậc hai sau: \[ T(x) = -x^2 + 6x + 5 \leq 0 \] Hỏi thuật toán này sẽ thực thi trong khoảng thời gian nào để đảm bảo không quá tải bộ nhớ?

• A. Từ giờ thứ 0 đến giờ thứ 6
• B. Từ giờ thứ 1 đến giờ thứ 5
• C. Từ giờ thứ 2 đến giờ thứ 4
• D. Từ giờ thứ 0 đến giờ thứ 5

Đáp án: B

Lời giải:Giải bất phương trình \( -x^2 + 6x + 5 \leq 0 \), ta có phương trình bậc hai \( -x^2 + 6x + 5 = 0 \). Giải phương trình này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-1)(5)}}{2(-1)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 20}}{-2} = \frac{-6 \pm \sqrt{56}}{-2} \] Nghiệm của phương trình là \( x \approx 0.47 \) và \( x \approx 5.53 \). Do đó, thuật toán thực thi trong khoảng thời gian từ giờ thứ 1 đến giờ thứ 5.

Câu 9:

• .

Đáp án: .........

Lời giải: ...........

Câu 10:

• .

Đáp án: .........

Lời giải: ...........