Bài toán ứng dụng hàm số và đồ thị hàm số hàm bậc hai

1. Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất
Đề bài:
Cho hàm số \( y = -2x^2 + 4x + 1 \). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \( [0, 2] \).
Lời giải:
1.Xét hàm số:
Hàm số có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = -2, b = 4, c = 1 \). Vì \( a < 0 \), đồ thị hàm số là một parabol úp.
2. Tìm đỉnh của parabol:
Tọa độ đỉnh: \[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2(-2)} = 1, \quad y_0 = f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3. \] 3. Xét giá trị tại các đầu mút và đỉnh:
- \( f(0) = -2(0)^2 + 4(0) + 1 = 1 \),
- \( f(2) = -2(2)^2 + 4(2) + 1 = -3 \),
- \( f(1) = 3 \) (đỉnh nằm trong đoạn \( [0, 2] \)).
4. Kết luận:
- Giá trị lớn nhất: \( \max f(x) = 3 \) tại \( x = 1 \).
- Giá trị nhỏ nhất: \( \min f(x) = -3 \) tại \( x = 2 \).
* Phân tích bài toán: Bài toán yêu cầu phân tích hàm số trên một đoạn cụ thể. Việc tìm đỉnh và so sánh giá trị tại các điểm quan trọng là chìa khóa để giải bài.

---

2. Bài toán 2: Ứng dụng trong chuyển động vật lý
Đề bài
Một quả bóng được ném lên với phương trình chuyển động \( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \) (đơn vị: mét, giây).
a) Xác định thời điểm quả bóng đạt độ cao lớn nhất.
b) Tính độ cao lớn nhất của quả bóng.
Lời giải:
1. Xét hàm số:
Hàm số \( h(t) = -5t^2 + 20t + 1 \) là một hàm bậc hai với \( a = -5 \). Vì \( a < 0 \), đồ thị có đỉnh là điểm cao nhất.
2. Tìm thời điểm đạt độ cao lớn nhất:
Tọa độ đỉnh:
\[ t_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{20}{2(-5)} = 2 \, \text{(giây)}. \] 3. Tính độ cao lớn nhất:
\[ h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 1 = 21 \, \text{(mét)}. \] * Kết luận:
- Thời điểm quả bóng đạt độ cao lớn nhất là \( t = 2 \) giây.
- Độ cao lớn nhất là \( 21 \) mét.
* Phân tích bài toán:Bài toán ứng dụng lý thuyết hàm bậc hai vào thực tế chuyển động ném lên. Đỉnh của parabol tương ứng với độ cao lớn nhất.

---

Bài toán 3: Tính diện tích vùng đóng kín (dành cho lớp 12)
Đề bài:
Cho đồ thị hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \). Xác định diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục hoành.
Lời giải:
1. Xác định giao điểm với trục hoành:
Giải phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0 \):
\[ (x - 1)(x - 3) = 0 \implies x = 1, x = 3. \] 2. Diện tích hình phẳng:
Diện tích giữa đồ thị và trục hoành:
\[ S = \int_{1}^{3} |x^2 - 4x + 3| dx = \int_{1}^{3} (4x - x^2 - 3) dx. \] Tính tích phân: \[ S = \left[ 2x^2 - \frac{x^3}{3} - 3x \right]_1^3 = \left( 2(3)^2 - \frac{(3)^3}{3} - 3(3) \right) - \left( 2(1)^2 - \frac{(1)^3}{3} - 3(1) \right) = 4. \] * Kết luận:
Diện tích hình phẳng là \( 4 \) đơn vị diện tích.
* Phân tích bài toán:Bài toán kết hợp kiến thức hàm số và tích phân, giúp học sinh hiểu rõ hơn về ý nghĩa hình học của đồ thị hàm số.

---

Bài toán 4: Ứng dụng trong bài toán chi phí
Đề bài:
Một công ty sản xuất có hàm chi phí \( C(x) = 5x^2 - 50x + 300 \), với \( x \) là số sản phẩm sản xuất (nghìn sản phẩm). Tìm số sản phẩm để chi phí thấp nhất.
Lời giải:
1. Xét hàm số:
Hàm chi phí \( C(x) = 5x^2 - 50x + 300 \), với \( a > 0 \) nên đồ thị là một parabol hướng lên.
2. Tìm số sản phẩm tối ưu:
Tọa độ đỉnh:
\[ x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-50}{2(5)} = 5. \] * Kết luận:
Chi phí thấp nhất đạt được khi sản xuất \( 5 \) nghìn sản phẩm.
* Phân tích bài toán: Bài toán cho thấy ứng dụng của hàm bậc hai trong tối ưu hóa chi phí, rất thực tế với các bài toán kinh tế.

---

Bài toán 5: Bài toán hình học
Đề bài:
Cho tam giác có một cạnh là \( x \), chiều cao tương ứng là \( y = -x^2 + 6x - 5 \). Tìm giá trị của \( x \) để diện tích tam giác lớn nhất.
Lời giải:
1. ét diện tích tam giác:
Diện tích tam giác:
\[ S = \frac{1}{2}x(-x^2 + 6x - 5). \] 2. Đặt hàm số:
\( S(x) = -\frac{1}{2}x^3 + 3x^2 - \frac{5}{2}x \).
3. Xác định giá trị tối ưu:
Tìm đạo hàm \( S'(x) = -\frac{3}{2}x^2 + 6x - \frac{5}{2} \), giải \( S'(x) = 0 \) để tìm \( x \).
Từ đó tính \( S(x) \) để tìm giá trị lớn nhất.
*Phân tích bài toán: Bài toán kết hợp giữa hình học và tối ưu hóa hàm số. Cần hiểu rõ cách phân tích giá trị cực đại.