Lý Thuyết và bài tập cơ bản về số phức (phần 1)

Số phức là một khái niệm quan trọng trong toán học, đặc biệt là trong chương trình học của lớp 12. Dưới đây là lý thuyết cơ bản về số phức, bao gồm các khái niệm chính như dạng đại số, phần thực, phần ảo, môđun, số phức liên hợp và điều kiện để hai số phức bằng nhau.

1. Dạng Đại Số của Số Phức

Số phức \(z\) thường được biểu diễn trong dạng đại số \(z = a + bi\), trong đó:
- \(a\) là phần thực của số phức, ký hiệu là Re(z).
- \(b\) là phần ảo của số phức, ký hiệu là Im(z).
- \(i\) là đơn vị ảo, với \(i^2 = -1\).

2. Phần Thực và Phần Ảo

- **Phần Thực (Re(z)):** Là thành phần \(a\) trong biểu diễn \(a + bi\) của số phức, chỉ ra giá trị "thực" của số phức.
- **Phần Ảo (Im(z)):** Là thành phần \(b\) trong biểu diễn \(a + bi\), kèm theo đơn vị ảo \(i\), chỉ ra giá trị "ảo" của số phức.

3. Môđun của Số Phức

Môđun của số phức \(z = a + bi\) được định nghĩa là \(\sqrt{a^2 + b^2}\) và ký hiệu là \(|z|\). Môđun của số phức biểu diễn khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức đến gốc tọa độ.

4. Số Phức Liên Hợp

Số phức liên hợp của số phức \(z = a + bi\) là số phức \(z' = a - bi\). Số phức liên hợp có phần thực bằng phần thực của \(z\) và phần ảo có giá trị tuyệt đối bằng phần ảo của \(z\) nhưng có dấu ngược lại.

5. Hai Số Phức Bằng Nhau

Hai số phức \(z_1 = a + bi\) và \(z_2 = c + di\) được coi là bằng nhau khi và chỉ khi \(a = c\) và \(b = d\), tức là phần thực và phần ảo của chúng tương ứng bằng nhau.

Tóm Lược

Số phức là một phần mở rộng của tập số thực, cho phép giải quyết nhiều vấn đề trong toán học và vật lý mà số thực không thể giải quyết. Việc hiểu rõ về dạng đại số, phần thực, phần ảo, môđun và số phức liên hợp là nền tảng quan trọng để học sinh tiếp cận và giải quyết các bài toán liên quan đến số phức. Dưới đây là 7 câu hỏi trắc nghiệm về số phức, bao gồm các khái niệm cơ bản, cách tìm phần thực, phần ảo, môđun, và biểu diễn hình học của số phức. Câu hỏi này giúp học sinh lớp 12 ôn tập và chuẩn bị cho các kỳ thi liên quan đến chủ đề số phức.

Câu 1: Số phức \(z = 3 + 4i\) có phần thực là bao nhiêu?

- A. 3
- B. 4
- C. \(i\)
- D. 7

Câu 2: Phần ảo của số phức \(z = -5 - 2i\) là:

- A. -5
- B. -2
- C. 2
- D. \(i\)

Câu 3: Môđun của số phức \(z = 1 + i\) là:

- A. \(\sqrt{2}\)
- B. 2
- C. 1
- D. \(\sqrt{1 + i}\)

Câu 4: Số phức liên hợp của \(z = 4 - 3i\) là:

- A. \(4 + 3i\)
- B. \(-4 + 3i\)
- C. \(-4 - 3i\)
- D. \(3i - 4\)

Câu 5: Điểm nào sau đây biểu diễn số phức \(z = 2 - 3i\) trên mặt phẳng phức?

- A. \( (2, -3)\)
- B. \( (-3, 2)\)
- C. \( (3, -2)\)
- D. \( (-2, 3)\)

Câu 6: Nếu \(z = 5 + 12i\), thì môđun của \(z\) là:

- A. 13
- B. 17
- C. 25
- D. \(\sqrt{169}\)

Câu 7: Biểu diễn hình học của số phức \(z = -4 + 4\sqrt{3}i\) trên mặt phẳng phức tạo với trục thực một góc:

- A. \(30^{\circ}\)
- B. \(60^{\circ}\)
- C. \(90^{\circ}\)
- D. \(120^{\circ}\)
**Đáp án:**
1. A. 3
2. B. -2
3. A. \(\sqrt{2}\)
4. A. \(4 + 3i\)
5. A. \( (2, -3)\)
6. A. 13
7. D. \(120^{\circ}\)

Những câu hỏi này giúp học sinh nắm vững các khái niệm cơ bản về số phức, từ cách xác định phần thực, phần ảo đến môđun và biểu diễn hình học của số phức trên mặt phẳng phức, qua đó hỗ trợ học sinh trong việc hiểu và áp dụng số phức vào giải quyết các bài toán.
Dưới đây là 3 câu hỏi trắc nghiệm về biểu diễn hình học của số phức, giúp học sinh lớp 12 hiểu rõ hơn về cách số phức được biểu diễn trên mặt phẳng phức.

Mức thông hiểu

Câu 1: Điểm nào sau đây biểu diễn số phức \(z = 3 + 4i\) trên mặt phẳng phức?

- A. \( (3, 4)\)
- B. \( (-3, 4)\)
- C. \( (4, 3)\)
- D. \( (3, -4)\)

Câu 2: Khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức \(z = -1 + i\) đến gốc tọa độ trên mặt phẳng phức là:

- A. \(\sqrt{1}\)
- B. \(\sqrt{2}\)
- C. 1
- D. 2

Câu 3: Nếu một số phức \(z\) được biểu diễn bởi điểm \(P\) trên mặt phẳng phức và \(P\) nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r = 5\), thì môđun của \(z\) bằng:

- A. 5
- B. 10
- C. 25
- D. \(\sqrt{5}\)

**Đáp án:**

1. A. \( (3, 4)\) - Phần thực của số phức được biểu diễn trên trục hoành và phần ảo trên trục tung.
2. B. \(\sqrt{2}\) - Khoảng cách từ điểm \((-1, 1)\) đến gốc tọa độ \(O(0, 0)\) được tính bằng công thức \(\sqrt{(-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}\).
3. A. 5 - Môđun của số phức \(z\), biểu diễn bởi điểm \(P\) trên mặt phẳng phức và nằm trên đường tròn tâm \(O\) bán kính \(r = 5\), chính là bán kính của đường tròn, tức là 5.

Các câu hỏi này giúp học sinh luyện tập và hiểu rõ cách biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức, cũng như cách tính toán và ứng dụng môđun của số phức trong các bài toán hình học phức.