HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Dưới đây là đề kiểm tra gồm 15 câu hỏi trắc nghiệm từ cơ bản đến nâng cao về hệ trục tọa độ trong không gian, bao gồm các chủ đề như tọa độ điểm, tọa độ vectơ, phương trình mặt cầu, độ dài vectơ, và góc giữa hai vectơ dành cho học sinh lớp 12.
Câu 1: Tọa độ của điểm \(M\) trung điểm hai điểm \(A(2, 3, 5)\) và \(B(4, 7, 9)\) là:
A. \(M(3, 5, 7)\)
B. \(M(3, 4, 6)\)
C. \(M(6, 10, 14)\)
D. \(M(2, 5, 8)\)
Câu 2: Vectơ \(\vec{AB}\) với \(A(-2, 1, 3)\) và \(B(2, -1, -1)\) có tọa độ là:
A. \(\vec{AB} = (4, -2, -4)\)
B. \(\vec{AB} = (-4, 2, 4)\)
C. \(\vec{AB} = (0, 0, 0)\)
D. \(\vec{AB} = (-4, -2, 2)\)

Câu 3: Độ dài của vectơ \(\vec{a} = (6, 8, 0)\) là:
A. \(10\)
B. \(14\)
C. \(100\)
D. \(28\)

Câu 4: Phương trình của mặt cầu có tâm \(O(0, 0, 0)\) và bán kính \(r = 3\) là:
A. \(x^2 + y^2 + z^2 = 9\)
B. \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\)
C. \(x^2 + y^2 + z^2 = 27\)
D. \(x^2 + y^2 + z^2 = 6\)

Câu 5: Góc giữa hai vectơ \(\vec{a} = (1, 2, 3)\) và \(\vec{b} = (4, -5, 6)\) là:
A. \(90^{\circ}\)
B. \(60^{\circ}\)
C. \(45^{\circ}\)
D. \(0^{\circ}\)

Câu 6: Vectơ đơn vị của vectơ \(\vec{a} = (3, 4, 0)\) là:
A. \((\frac{3}{5}, \frac{4}{5}, 0)\)
B. \((\frac{3}{4}, 1, 0)\)
C. \((1, 1, 1)\)
D. \((\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, 0)\)
Câu 7: Điểm \(M\) nằm trên trục \(Oz\) có tọa độ là:
A. \(M(0, 0, 1)\)
B. \(M(1, 0, 0)\)
C. \(M(0, 1, 0)\)
D. \(M(1, 1, 1)\)

Câu 8: Tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC\) với \(A(2, 2, 2)\), \(B(4, 4, 4)\), và \(C(6, 6, 6)\) là: A. \(G(4, 4, 4)\)
B. \(G(3, 3, 3)\)
C. \(G(12, 12, 12)\)
D. \(G(2, 2, 2)\)

Câu 9: Độ dài đoạn thẳng \(AB\) với \(A(1, 2, 2)\) và \(B(3, 4, 4)\) là:
A. \(\sqrt{12}\)
B. \(6\)
C. \(\sqrt{8}\)
D. \(2\sqrt{3}\)

Câu 10: Vectơ \(\vec{a} = (1, 0, -1)\) và vectơ \(\vec{b} = (0, 1, 1)\) vuông góc với nhau khi:
A. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)
B. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\)
C. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = -1\)
D. \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 2\)

Câu 11: Phương trình mặt phẳng đi qua điểm \(M(1, -2, 3)\) và vuông góc với vectơ \(\vec{n} = (2, -3, 1)\) là:
A. \(2x - 3y + z - 8 = 0\)
B. \(2x - 3y + z + 11 = 0\)
C. \(x + 2y + 3z - 14 = 0\)
D. \(2x - 3y + z + 8 = 0\)

Câu 12: Tọa độ của vectơ \(\vec{AB}\) khi \(A(2, 3, -4)\) và \(B(-1, 0, 2)\) là:
A. \(\vec{AB} = (-3, -3, 6)\)
B. \(\vec{AB} = (3, 3, -6)\)
C. \(\vec{AB} = (-1, -3, 2)\)
D. \(\vec{AB} = (3, -3, 6)\)

Câu 13: Phương trình của mặt cầu tâm \(I(2, 2, -1)\) và tiếp xúc với mặt phẳng \(Oxy\) là:
A. \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 1\)
B. \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 4\)
C. \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 + (z + 1)^2 = 9\)
D. \((x - 2)^2 + (y - 2)^2 + z^2 = 1\)

Câu 14: Vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(2x - y + 2z = 7\)?
A. \(\vec{n} = (2, -1, 2)\)
B. \(\vec{n} = (-2, 1, -2)\)
C. \(\vec{n} = (2, 1, 2)\)
D. \(\vec{n} = (1, -2, 2)\)

Câu 15: Góc giữa vectơ \(\vec{a} = (3, 4, 0)\) và trục \(Ox\) là:
A. \(0^{\circ}\)
B. \(45^{\circ}\)
C. \(60^{\circ}\)
D. \(90^{\circ}\)

Đáp án: Nhận biết: 1-A, 2-A, 3-A, 4-A, 5-A, 6-A, 7-A, 8-A, 9-A, 10-A. Thông hiểu: 11-D, 12-A, 13-A, 14-A, 15-D. Câu hỏi này giúp học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về hệ trục tọa độ trong không gian, từ cơ bản đến nâng cao, qua đó chuẩn bị tốt cho các kì thi và nâng cao hiểu biết về hình học không gian.